（12分）设椭圆C： x ^ 2 2 + y ^ 2 =…——2018 高考数学第 19 题答案解析

由椭圆方程 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 可知 $a^2=2, b^2=1$，则 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1$。
故右焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$。

（1）当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $l$ 的方程为 $x=1$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} x=1 \\ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 \end{cases} $$
解得 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
不妨设 $A(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$，已知 $M(2,0)$。
直线 $AM$ 的斜率 $k_{AM} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - 0}{1 - 2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
由点斜式得直线 $AM$ 的方程为：
$$ y - 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - 2) $$
即 $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2}$。
若取 $A(1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$，同理可得直线 $AM$ 的方程为 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \sqrt{2}$。
综上，直线 $AM$ 的方程为 $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2}$ 或 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \sqrt{2}$。

（2）证明 $\angle OMA = \angle OMB$：

① 当直线 $l$ 与 $x$ 轴重合时，$A, B$ 分别为椭圆的左右顶点，$M$ 在 $x$ 轴上，此时 $A, B, M, O$ 四点共线，$\angle OMA = \angle OMB = 0^\circ$，结论成立。

② 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，由椭圆的对称性可知，$A, B$ 关于 $x$ 轴对称。
因为 $M(2,0)$ 在 $x$ 轴上，所以 $\triangle MAB$ 关于 $x$ 轴对称，故 $\angle OMA = \angle OMB$，结论成立。

③ 当直线 $l$ 与 $x$ 轴不重合也不垂直时，设直线 $l$ 的方程为 $y = k(x-1)$ ($k \neq 0$)。
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = k(x-1) \\ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 \end{cases} $$
消去 $y$ 整理得：
$$ (2k^2 + 1)x^2 - 4k^2x + 2k^2 - 2 = 0 $$
由韦达定理可得：
$$ x_1 + x_2 = \frac{4k^2}{2k^2 + 1}, \quad x_1 x_2 = \frac{2k^2 - 2}{2k^2 + 1} $$
要证 $\angle OMA = \angle OMB$，只需证直线 $MA$ 与 $MB$ 的倾斜角互补，即证 $k_{MA} + k_{MB} = 0$。
$$ \begin{aligned} k_{MA} + k_{MB} &= \frac{y_1}{x_1 - 2} + \frac{y_2}{x_2 - 2} \\ &= \frac{k(x_1 - 1)}{x_1 - 2} + \frac{k(x_2 - 1)}{x_2 - 2} \\ &= k \left[ \frac{(x_1 - 1)(x_2 - 2) + (x_2 - 1)(x_1 - 2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} \right] \end{aligned} $$
考察分子部分：
$$ \begin{aligned} \text{分子} &= (x_1 x_2 - 2x_1 - x_2 + 2) + (x_1 x_2 - 2x_2 - x_1 + 2) \\ &= 2x_1 x_2 - 3(x_1 + x_2) + 4 \end{aligned} $$
将韦达定理代入上式：
$$ \begin{aligned} 2x_1 x_2 - 3(x_1 + x_2) + 4 &= 2 \cdot \frac{2k^2 - 2}{2k^2 + 1} - 3 \cdot \frac{4k^2}{2k^2 + 1} + 4 \\ &= \frac{4k^2 - 4 - 12k^2 + 4(2k^2 + 1)}{2k^2 + 1} \\ &= \frac{4k^2 - 4 - 12k^2 + 8k^2 + 4}{2k^2 + 1} \\ &= \frac{0}{2k^2 + 1} \\ &= 0 \end{aligned} $$
所以 $k_{MA} + k_{MB} = 0$。
这表明直线 $MA$ 与 $MB$ 关于直线 $x=2$（或平行于y轴的线）对称，结合几何图形可知 $\angle OMA = \angle OMB$。

综上所述，对于任意过焦点 $F$ 的直线 $l$，均有 $\angle OMA = \angle OMB$。