已知 a, b R，函数 f(x)=e^ x -a sin…——2022 高考数学第 20 题答案解析

（1）$f(0)=e^0-a\sin0=1$，且 $f'(x)=e^x-a\cos x$，所以 $f'(0)=1-a$。故曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为
$y-1=(1-a)x$，即 $y=(1-a)x+1$。

（2）因为 $g(x)=b\sqrt{x}$ 的定义域要求 $x\ge0$，所以两曲线若有公共点，其横坐标必不小于 $0$。

（i）当 $a=0$ 时，公共点存在等价于方程
$e^x=b\sqrt{x}$
在 $x\ge0$ 上有解。

若 $x=0$，则 $1=0$，不可能，故 $x>0$。令 $t=\sqrt{x}>0$，则方程化为
$e^{t^2}=bt$，即 $b=\dfrac{e^{t^2}}{t}$。

设 $h(t)=\dfrac{e^{t^2}}{t}$，$t>0$。则
$h'(t)=\dfrac{e^{t^2}(2t^2-1)}{t^2}$。
因此 $h(t)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1}{\sqrt2},+\infty\right)$ 上单调递增，最小值为
$h\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)=\sqrt{2e}$。
又当 $t\to0^+$ 或 $t\to+\infty$ 时，$h(t)\to+\infty$，所以 $h(t)$ 的值域为 $[\sqrt{2e},+\infty)$。

故 $b$ 的取值范围是
$b\in[\sqrt{2e},+\infty)$。

（ii）设两曲线公共点的横坐标为 $x_0$。若 $x_0=0$，则 $f(0)=1$，$g(0)=0$，矛盾，所以 $x_0>0$。

由公共点条件得
$e^{x_0}-a\sin x_0=b\sqrt{x_0}$，
即
$a\sin x_0+b\sqrt{x_0}=e^{x_0}$。

由柯西不等式，
$(a\sin x_0+b\sqrt{x_0})^2\le(a^2+b^2)(\sin^2x_0+x_0)$，
所以
$a^2+b^2\ge\dfrac{e^{2x_0}}{\sin^2x_0+x_0}$。

下面证明对任意 $x>0$，都有
$\dfrac{e^{2x}}{\sin^2x+x}>e$。

令 $F(u)=e^u-u-1$，则 $F'(u)=e^u-1$，$F(u)$ 在 $u=0$ 处取得最小值 $0$，故
$e^u\ge u+1$。
取 $u=2x-1$，得
$e^{2x-1}\ge2x$。

再证 $x>\sin^2x$。当 $0<x\le1$ 时，$\sin x<x$，故 $\sin^2x<x^2\le x$；当 $x>1$ 时，$\sin^2x\le1<x$。因此对一切 $x>0$，均有
$x>\sin^2x$。

于是
$2x>x+\sin^2x$，
从而
$e^{2x-1}\ge2x>x+\sin^2x$，
即
$e^{2x}>e(\sin^2x+x)$，
所以
$\dfrac{e^{2x}}{\sin^2x+x}>e$。

将 $x=x_0$ 代入，得到
$\dfrac{e^{2x_0}}{\sin^2x_0+x_0}>e$。
结合前面的不等式，
$a^2+b^2\ge\dfrac{e^{2x_0}}{\sin^2x_0+x_0}>e$。

故 $a^2+b^2>e$。