（1）由曲线 $C_2$ 的极坐标方程 $\rho = 2\sin\theta$，两边同乘 $\rho$ 得 $\rho^2 = 2\rho\sin\theta$。
代入互化公式 $x^2+y^2=\rho^2, y=\rho\sin\theta$，得直角坐标方程：
$x^2 + y^2 = 2y$，即 $x^2 + (y-1)^2 = 1$。
由曲线 $C_3$ 的极坐标方程 $\rho = 2\sqrt{3}\cos\theta$，两边同乘 $\rho$ 得 $\rho^2 = 2\sqrt{3}\rho\cos\theta$。
代入互化公式 $x=\rho\cos\theta$，得直角坐标方程：
$x^2 + y^2 = 2\sqrt{3}x$，即 $(x-\sqrt{3})^2 + y^2 = 3$。
联立两圆的直角坐标方程：
$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 - 2y = 0 \quad \text{①} \\
x^2 + y^2 - 2\sqrt{3}x = 0 \quad \text{②}
\end{cases}
$$
① - ② 得：$2\sqrt{3}x - 2y = 0$，即 $y = \sqrt{3}x$。
将 $y = \sqrt{3}x$ 代入 ① 得：
$x^2 + 3x^2 - 2\sqrt{3}x = 0 \Rightarrow 4x^2 - 2\sqrt{3}x = 0$。
解得 $x = 0$ 或 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
当 $x=0$ 时，$y=0$；
当 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$y=\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$。
故 $C_2$ 与 $C_3$ 交点的直角坐标为 $(0,0)$ 和 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$。
（2）曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = t\cos\alpha \\ y = t\sin\alpha \end{cases}$ ($t \neq 0$)，消去参数 $t$ 可知其表示过原点且倾斜角为 $\alpha$ 的直线（除去原点）。
在极坐标系中，直线 $C_1$ 的方程可表示为 $\theta = \alpha$ ($\rho \in \mathbb{R}, \rho \neq 0$)。
设点 $A$ 的极坐标为 $(\rho_A, \alpha)$，点 $B$ 的极坐标为 $(\rho_B, \alpha)$。
因为点 $A$ 在 $C_2$ 上，满足 $\rho_A = 2\sin\alpha$；
因为点 $B$ 在 $C_3$ 上，满足 $\rho_B = 2\sqrt{3}\cos\alpha$。
由于 $A, B$ 两点均在射线（或反向延长线）$\theta = \alpha$ 上，两点间的距离为极径之差的绝对值：
$$
|AB| = |\rho_A - \rho_B| = |2\sin\alpha - 2\sqrt{3}\cos\alpha|
$$
利用辅助角公式化简：
$$
|AB| = \left| 4 \left( \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha \right) \right| = 4 \left| \sin\alpha\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{3} \right| = 4 \left| \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) \right|
$$
已知 $0 \le \alpha \le \pi$，则 $-\frac{\pi}{3} \le \alpha - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$。
在此区间内，正弦函数 $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$ 的取值范围是 $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right]$。
所以 $\left| \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) \right|$ 的最大值为 $1$。
此时 $\alpha - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \frac{5\pi}{6}$，符合题意。
故 $|AB|$ 的最大值为 $4 \times 1 = 4$。