（12分）设函数f ( x ) = sin ( ω x -…——2017 高考数学第 16 题答案解析

（Ⅰ）首先利用两角差的正弦公式及诱导公式化简函数 $f(x)$ 的解析式。
$$ \begin{aligned} f(x) &= \sin(\omega x - \frac{\pi}{6}) + \sin(\omega x - \frac{\pi}{2}) \\ &= (\sin \omega x \cos \frac{\pi}{6} - \cos \omega x \sin \frac{\pi}{6}) - \cos \omega x \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x - \frac{1}{2} \cos \omega x - \cos \omega x \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x - \frac{3}{2} \cos \omega x \end{aligned} $$
提取公因式 $\sqrt{3}$，利用辅助角公式合并：
$$ f(x) = \sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \sin \omega x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega x \right) = \sqrt{3} \sin(\omega x - \frac{\pi}{3}) $$
由已知条件 $f(\frac{\pi}{6}) = 0$，代入得：
$$ \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6}\omega - \frac{\pi}{3}) = 0 $$
即 $\frac{\pi}{6}\omega - \frac{\pi}{3} = k\pi, k \in \mathbb{Z}$。
解得 $\omega = 6k + 2$。
因为 $0 < \omega < 3$，当 $k=0$ 时，$\omega = 2$，符合题意；当 $k$ 取其他整数时，$\omega$ 均不在给定范围内。
故 $\omega = 2$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 $f(x) = \sqrt{3} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$。
第一步，将 $y=f(x)$ 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），即把 $x$ 替换为 $\frac{1}{2}x$，得到：
$$ y = \sqrt{3} \sin(2 \cdot \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(x - \frac{\pi}{3}) $$
第二步，将所得图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，即把 $x$ 替换为 $x + \frac{\pi}{4}$，得到 $g(x)$：
$$ g(x) = \sqrt{3} \sin((x + \frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(x - \frac{\pi}{12}) $$
接下来求 $g(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ 上的最小值。
令 $t = x - \frac{\pi}{12}$。
因为 $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$，所以：
$$ -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} \le t \le \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{12} $$
通分计算边界：
$$ -\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \le t \le \frac{9\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \implies -\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3} $$
考察正弦函数 $y = \sin t$ 在区间 $[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ 上的单调性与最值。
正弦函数在 $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递增，在 $[\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$ 上单调递减。
端点值与极值点比较：
当 $t = -\frac{\pi}{3}$ 时，$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$\sin t = 1$（最大值）；
当 $t = \frac{2\pi}{3}$ 时，$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此，$\sin t$ 的最小值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以 $g(x)$ 的最小值为：
$$ g(x)_{\min} = \sqrt{3} \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} $$