记 S_ n 为数列 a_ n 的前 n 项和．已知 2…——2022 高考数学第 18 题答案解析

（1）由已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$，整理得：
$$2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n \quad \cdots ①$$
当 $n \geqslant 2$ 时，有：
$$2 S_{n-1}+(n-1)^{2}=2(n-1) a_{n-1}+(n-1) \quad \cdots ②$$
① $-$ ② 得：
$$2(S_{n}-S_{n-1}) + n^2 - (n-1)^2 = 2n a_n - 2(n-1)a_{n-1} + n - (n-1)$$
因为 $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$，代入上式化简：
$$2 a_{n} + (2n-1) = 2n a_{n} - 2(n-1)a_{n-1} + 1$$
移项整理得：
$$2n a_{n} - 2 a_{n} - 2(n-1)a_{n-1} = 2n - 2$$
$$2(n-1)a_{n} - 2(n-1)a_{n-1} = 2(n-1)$$
因为 $n \geqslant 2$，所以 $n-1 \neq 0$，两边同除以 $2(n-1)$ 得：
$$a_{n} - a_{n-1} = 1$$
故数列 $\{a_{n}\}$ 是公差 $d=1$ 的等差数列。

（2）由（1）知 $a_{n} = a_{1} + (n-1)d = a_{1} + n - 1$。
则 $a_{4} = a_{1} + 3$，$a_{7} = a_{1} + 6$，$a_{9} = a_{1} + 8$。
因为 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，所以 $a_{7}^{2} = a_{4} a_{9}$，即：
$$(a_{1}+6)^{2} = (a_{1}+3)(a_{1}+8)$$
展开得：
$$a_{1}^{2} + 12a_{1} + 36 = a_{1}^{2} + 11a_{1} + 24$$
解得 $a_{1} = -12$。
所以通项公式为 $a_{n} = n - 13$。
前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为：
$$S_{n} = n a_{1} + \frac{n(n-1)}{2} d = -12n + \frac{n^2-n}{2} = \frac{1}{2}n^2 - \frac{25}{2}n$$
这是一个关于 $n$ 的二次函数，开口向上，对称轴为 $n = \frac{-(-\frac{25}{2})}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{25}{2} = 12.5$。
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，且 $n$ 离对称轴越近，$S_n$ 越小，所以当 $n=12$ 或 $n=13$ 时，$S_n$ 取得最小值。
$$S_{12} = \frac{1}{2} \times 12^2 - \frac{25}{2} \times 12 = 72 - 150 = -78$$
$$S_{13} = \frac{1}{2} \times 13^2 - \frac{25}{2} \times 13 = \frac{169 - 325}{2} = \frac{-156}{2} = -78$$
故 $S_{n}$ 的最小值为 $-78$。