（1）由 $a_2=2, a_5=2$ 可知 $a_2=a_5$。
根据性质 P 的定义，若 $a_p=a_q$，则 $a_{p+1}=a_{q+1}$。
因为 $a_2=a_5$，所以 $a_3=a_6$，$a_4=a_7$，$a_5=a_8$。
已知 $a_4=3, a_5=2$，故 $a_7=3, a_8=2$。
又已知 $a_6+a_7+a_8=21$，代入得 $a_3+3+2=21$，解得 $a_3=16$。
（2）设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{c_n\}$ 的公比为 $q$ ($q>0$)。
由 $b_1=1, b_5=81$，得 $1+4d=81$，解得 $d=20$，故 $b_n=1+20(n-1)=20n-19$。
由 $c_1=81, c_5=1$，得 $81q^4=1$，即 $q^4=\frac{1}{81}$。因 $q>0$，故 $q=\frac{1}{3}$。
所以 $c_n=81 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = 3^4 \cdot 3^{-(n-1)} = 3^{5-n}$。
从而 $a_n = b_n + c_n = 20n - 19 + 3^{5-n}$。
计算前几项：
$a_1 = 20(1) - 19 + 3^4 = 1 + 81 = 82$；
$a_5 = 20(5) - 19 + 3^0 = 100 - 19 + 1 = 82$。
可见 $a_1=a_5$。
若 $\{a_n\}$ 具有性质 P，则应有 $a_2=a_6$。
计算 $a_2$ 和 $a_6$：
$a_2 = 20(2) - 19 + 3^3 = 40 - 19 + 27 = 48$；
$a_6 = 20(6) - 19 + 3^{-1} = 120 - 19 + \frac{1}{3} = 101 + \frac{1}{3} = \frac{304}{3}$。
显然 $48 \neq \frac{304}{3}$，即 $a_2 \neq a_6$。
因此，$\{a_n\}$ 不具有性质 P。
（3）证明：
**充分性**：
若 $\{b_n\}$ 是常数列，设 $b_n=b$ ($n \in \mathbb{N}^*$)。
则递推关系为 $a_{n+1} = b + \sin a_n$。
对任意给定的 $a_1$，假设存在 $p, q \in \mathbb{N}^*$ 使得 $a_p=a_q$。
则 $a_{p+1} = b + \sin a_p = b + \sin a_q = a_{q+1}$。
这符合性质 P 的定义，故充分性成立。
**必要性**：
用反证法。假设 $\{b_n\}$ 不是常数列，但“对任意 $a_1$，$\{a_n\}$ 都具有性质 P”。
因为 $\{b_n\}$ 不是常数列，必存在最小的正整数 $k$，使得 $b_1=b_2=\cdots=b_k=b$，而 $b_{k+1} \neq b$。
我们要构造一个初始值 $a_1$，使得生成的数列 $\{a_n\}$ 违反性质 P。
考虑方程 $x = b + \sin x$，即 $x - \sin x - b = 0$。
令 $f(x) = x - \sin x - b$。
由于 $-\sin x$ 有界，当 $x \to +\infty$ 时 $f(x) \to +\infty$，当 $x \to -\infty$ 时 $f(x) \to -\infty$。
具体地，取整数 $m$ 使得 $m\pi > |b|$，则：
$f(m\pi) = m\pi - b > 0$，
$f(-m\pi) = -m\pi - b < 0$。
由零点存在定理，存在实数 $c$ 使得 $f(c)=0$，即 $c = b + \sin c$。
取 $a_1 = c$。
由递推公式 $a_{n+1} = b_n + \sin a_n$：
当 $1 \le n \le k$ 时，$b_n=b$，故 $a_{n+1} = b + \sin a_n$。
$a_2 = b + \sin a_1 = b + \sin c = c = a_1$；
$a_3 = b + \sin a_2 = b + \sin c = c = a_2$；
……
以此类推，可得 $a_1 = a_2 = \cdots = a_{k+1} = c$。
特别地，取 $p=1, q=k+1$，有 $a_p = a_q = c$。
若 $\{a_n\}$ 具有性质 P，则必须满足 $a_{p+1} = a_{q+1}$，即 $a_2 = a_{k+2}$。
然而，计算 $a_{k+2}$：
$a_{k+2} = b_{k+1} + \sin a_{k+1} = b_{k+1} + \sin c$。
而 $a_2 = c = b + \sin c$。
因为 $b_{k+1} \neq b$，所以 $b_{k+1} + \sin c \neq b + \sin c$，即 $a_{k+2} \neq a_2$。
这与 $\{a_n\}$ 具有性质 P 矛盾。
因此，假设不成立，$\{b_n\}$ 必须是常数列。
综上所述，“对任意 $a_1$，$\{a_n\}$ 都具有性质 P”的充要条件是“$\{b_n\}$ 是常数列”。