2015_新课标 II 卷 (2015·文)
19．（12分）如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=16, B C=10, A A_{1}=8$ ，点 $E, F$分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上，$A_{1} E=D_{1} F=4$ ．过 $E$ ，$F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（II）求平面 $\alpha$ 把该长方体分成的两部分体积的比值．
(1) 交线围成的正方形EFGH如图所示; (2) $\frac{9}{7}$
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
同一个知识，换种问法
匹配依据：空间几何体的表面积与体积 · 直线、平面平行的判定与性质换个题面，方法仍然适用
匹配依据：等体积转化在三棱锥 $P-A B C$ 中，线段 $P C$ 上的点 $M$ 满足 $P M=\frac{1}{3} P C$ ，线段 $P B$ 上的点 $N$ 满足 $P N=\frac{2}{3} P B$ ，则三棱锥 $P-A M N$ 和三棱锥 $P-A B C$ 的体积之比为
（本小题满分 13 分）
如图，某地质队自水平地面 $A, B, C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 $A_{1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 $A_{2}$ 处后下面已无矿，从而得到在 $A$ 处正下方的矿层厚度为 $A_{1} A_{2}=d_{1}$。同样可
得在 $B, C$ 处正下方的矿层厚度分别为 $B_{1} B_{2}=d_{2}, C_{1} C_{2}=d_{3}$，且 $d_{1}<d_{2}<d_{3}$．过 $A B, A C$的中点 $M, N$ 且与直线 $A A_{2}$ 平行的平面截多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 所得的截面 $D E F G$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 $S_{\text {中 }}$．
（I）证明：中截面 $D E F G$ 是梯形；
（II）在 $\triangle A B C$ 中，记 $B C=a, B C$ 边上的高为 $h$，面积为 $S$．在估测三角形 $A B C$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 的体积 $V$ ）时，可用近似公式 $V_{\text {估 }}=S_{\text {中 }} \cdot h$ 来估算．已知 $V=\frac{1}{3}\left(d_{1}+d_{2}+d_{3}\right) S$，试判断 $V_{\text {估 }}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明．
第 20 题图
在三棱住 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}$，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 $M, N, P$ 分别是 $A B, B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P-A_{1} M N$ 的体积是
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按本题考点（空间几何体的表面积与体积）一句话出一份真题练习卷或讲义，先看题目再生成 PDF，打印出来做。