设椭圆 C: x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1…——2024 高考数学第 20 题答案解析

(1) 由题意，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$。
因为 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF \perp x$ 轴，所以 $M$ 点的横坐标即为半焦距 $c$，故 $c=1$。
此时 $F(1,0)$，点 $M$ 的坐标满足椭圆方程，代入得：
$$ \frac{1^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2} = 1 $$
又因为 $b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - 1$，代入上式：
$$ \frac{1}{a^2} + \frac{9}{4(a^2 - 1)} = 1 $$
整理得：
$$ 4(a^2 - 1) + 9a^2 = 4a^2(a^2 - 1) $$
$$ 4a^2 - 4 + 9a^2 = 4a^4 - 4a^2 $$
$$ 4a^4 - 17a^2 + 4 = 0 $$
解关于 $a^2$ 的一元二次方程：
$$ (4a^2 - 1)(a^2 - 4) = 0 $$
解得 $a^2 = 4$ 或 $a^2 = \frac{1}{4}$。
因为 $a > c = 1$，所以 $a^2 > 1$，故舍去 $a^2 = \frac{1}{4}$，取 $a^2 = 4$。
从而 $b^2 = a^2 - 1 = 3$。
所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。

(2) 由 (1) 知 $F(1,0)$，又 $P(4,0)$，则线段 $FP$ 的中点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{1+4}{2}, 0\right) = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$。
直线 $MF$ 的方程为 $x=1$。
设直线 $AB$ 的方程为 $y = k(x-4)$（若斜率不存在，直线为 $x=4$，与椭圆无交点，故斜率必存在）。
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = k(x-4) \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} $$
消去 $y$ 得：
$$ 3x^2 + 4[k(x-4)]^2 = 12 $$
$$ 3x^2 + 4k^2(x^2 - 8x + 16) - 12 = 0 $$
$$ (3 + 4k^2)x^2 - 32k^2x + 64k^2 - 12 = 0 $$
由韦达定理可得：
$$ x_1 + x_2 = \frac{32k^2}{3 + 4k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{64k^2 - 12}{3 + 4k^2} $$
直线 $NB$ 过点 $N\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ 和 $B(x_2, y_2)$，其方程为：
$$ y = \frac{y_2}{x_2 - \frac{5}{2}} \left(x - \frac{5}{2}\right) $$
点 $Q$ 是直线 $NB$ 与直线 $MF$ ($x=1$) 的交点，令 $x=1$，得 $Q$ 点纵坐标 $y_Q$：
$$ y_Q = \frac{y_2}{x_2 - \frac{5}{2}} \left(1 - \frac{5}{2}\right) = \frac{y_2}{\frac{2x_2 - 5}{2}} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{-3y_2}{2x_2 - 5} $$
要证明 $AQ \perp y$ 轴，即证明 $A, Q$ 两点纵坐标相等，即证 $y_1 = y_Q$，亦即证 $y_1 - y_Q = 0$。
$$ y_1 - y_Q = y_1 + \frac{3y_2}{2x_2 - 5} $$
将 $y_1 = k(x_1 - 4)$ 和 $y_2 = k(x_2 - 4)$ 代入：
$$ y_1 - y_Q = k(x_1 - 4) + \frac{3k(x_2 - 4)}{2x_2 - 5} = k \left[ (x_1 - 4) + \frac{3(x_2 - 4)}{2x_2 - 5} \right] $$
通分括号内各项：
$$ (x_1 - 4) + \frac{3x_2 - 12}{2x_2 - 5} = \frac{(x_1 - 4)(2x_2 - 5) + 3x_2 - 12}{2x_2 - 5} $$
展开分子：
$$ \text{分子} = 2x_1 x_2 - 5x_1 - 8x_2 + 20 + 3x_2 - 12 = 2x_1 x_2 - 5x_1 - 5x_2 + 8 $$
$$ = 2x_1 x_2 - 5(x_1 + x_2) + 8 $$
将韦达定理的结果代入分子表达式：
$$ 2 \cdot \frac{64k^2 - 12}{3 + 4k^2} - 5 \cdot \frac{32k^2}{3 + 4k^2} + 8 $$
$$ = \frac{2(64k^2 - 12) - 160k^2 + 8(3 + 4k^2)}{3 + 4k^2} $$
$$ = \frac{128k^2 - 24 - 160k^2 + 24 + 32k^2}{3 + 4k^2} $$
$$ = \frac{(128 - 160 + 32)k^2 + (-24 + 24)}{3 + 4k^2} = \frac{0}{3 + 4k^2} = 0 $$
因此，分子为 0，故 $y_1 - y_Q = 0$，即 $y_1 = y_Q$。
所以 $AQ$ 平行于 $x$ 轴，即 $AQ \perp y$ 轴。
证毕。