（本小题满分14分） 在 A B C 中，角A B C,…——2011 高考数学第 15 题答案解析

（1）由两角和的正弦公式展开已知等式：
$$ \sin A \cos \frac{\pi}{6} + \cos A \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cos A $$
代入 $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$，得：
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A + \frac{1}{2} \cos A = 2 \cos A $$
整理得：
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A = \frac{3}{2} \cos A \implies \sin A = \sqrt{3} \cos A $$
若 $\cos A = 0$，则 $\sin A = 0$，这与 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ 矛盾，故 $\cos A \neq 0$。
两边同除以 $\cos A$，得 $\tan A = \sqrt{3}$。
因为 $A$ 为三角形内角，即 $0 < A < \pi$，所以 $A = \frac{\pi}{3}$。

（2）由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，将 $\cos A = \frac{1}{3}$ 及 $b = 3c$ 代入：
$$ a^2 = (3c)^2 + c^2 - 2 \cdot (3c) \cdot c \cdot \frac{1}{3} $$
$$ a^2 = 9c^2 + c^2 - 2c^2 = 8c^2 $$
此时三边满足关系：
$$ a^2 + c^2 = 8c^2 + c^2 = 9c^2 = (3c)^2 = b^2 $$
根据勾股定理逆定理可知，$\triangle ABC$ 是以 $b$ 为斜边的直角三角形，且 $\angle B = \frac{\pi}{2}$。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，两锐角互余，即 $A + C = \frac{\pi}{2}$，故 $C = \frac{\pi}{2} - A$。
所以：
$$ \sin C = \sin\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cos A = \frac{1}{3} $$