## 21．（本小题满分13分） 已知平面内一动点 P 到…——2011 高考数学第 21 题答案解析

（Ⅰ）设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。
由题意，点 $P$ 到点 $F(1,0)$ 的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离之差等于 1，即：
$$ \sqrt{(x-1)^2+y^2} - |x| = 1 $$
移项得 $\sqrt{(x-1)^2+y^2} = |x| + 1$。
两边平方得：
$$ (x-1)^2 + y^2 = (|x|+1)^2 $$
$$ x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2|x| + 1 $$
化简得：
$$ y^2 = 2x + 2|x| $$
讨论 $x$ 的取值范围：
1. 当 $x \ge 0$ 时，$|x|=x$，方程化为 $y^2 = 2x + 2x = 4x$。
2. 当 $x < 0$ 时，$|x|=-x$，方程化为 $y^2 = 2x - 2x = 0$，即 $y=0$。

综上所述，动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为：
$$ y^2 = 4x \quad (x \ge 0) \quad \text{和} \quad y = 0 \quad (x < 0) $$

（Ⅱ）由题意知，直线 $l_1, l_2$ 过点 $F(1,0)$ 且互相垂直，斜率存在且不为 0。
设直线 $l_1$ 的斜率为 $k$ ($k \neq 0$)，则 $l_1$ 的方程为 $y = k(x-1)$。
因为 $l_1 \perp l_2$，所以直线 $l_2$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$，方程为 $y = -\frac{1}{k}(x-1)$。

由于 $F(1,0)$ 在抛物线 $y^2=4x$ 内部（焦点），且 $A,B,D,E$ 均为交点，故这些点均位于 $x \ge 0$ 的抛物线弧上。
联立 $l_1$ 与抛物线方程：
$$ \begin{cases} y = k(x-1) \\ y^2 = 4x \end{cases} $$
消去 $y$ 得：
$$ k^2(x-1)^2 = 4x \implies k^2(x^2 - 2x + 1) = 4x $$
$$ k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0 $$
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，由韦达定理可得：
$$ x_1 + x_2 = \frac{2k^2+4}{k^2} = 2 + \frac{4}{k^2}, \quad x_1 x_2 = 1 $$

同理，联立 $l_2$ 与抛物线方程，将 $k$ 替换为 $-\frac{1}{k}$，设 $D(x_3, y_3), E(x_4, y_4)$，可得：
$$ x_3 + x_4 = 2 + \frac{4}{(-1/k)^2} = 2 + 4k^2, \quad x_3 x_4 = 1 $$

接下来计算数量积 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB}$。
注意到 $A, F, B$ 共线，$D, F, E$ 共线，且 $F$ 为公共点。
向量分解如下：
$$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD} $$
$$ \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB} $$
所以：
$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} = (\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD}) \cdot (\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB}) $$
展开得：
$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{FB} $$

分析各项：
1. $\overrightarrow{AF}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 方向相反（$F$ 在 $A,B$ 之间），$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{FB} = -|\overrightarrow{AF}| |\overrightarrow{FB}|$。
*修正思考*：这里需要仔细判断向量的方向。
$A, B$ 在直线 $l_1$ 上，$F$ 在 $A, B$ 之间。$\overrightarrow{FA}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 反向。
$\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$。
$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{FB} = (-\overrightarrow{FA}) \cdot \overrightarrow{FB} = - (\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB}) = - (-|\overrightarrow{FA}| |\overrightarrow{FB}|) = |\overrightarrow{FA}| |\overrightarrow{FB}|$。
或者更简单地，利用坐标运算或焦半径公式。

让我们使用焦半径公式简化计算。对于抛物线 $y^2=4x$，焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$。
抛物线上任意一点 $M(x,y)$ 到焦点的距离 $|MF| = x + 1$。

观察向量点积的几何意义或直接坐标计算可能更稳妥，避免方向混淆。
$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} = (x_D - x_A)(x_B - x_E) + (y_D - y_A)(y_B - y_E)$。这太复杂。

回到向量分解法，注意方向：
$A, F, B$ 共线，$D, F, E$ 共线。
$\overrightarrow{AF}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 同向吗？不，$F$ 在中间。$\vec{FA}$ 和 $\vec{FB}$ 反向。
$\overrightarrow{AF}$ 指向 $F$，$\overrightarrow{FB}$ 离开 $F$。如果 $A-F-B$ 排列，$\overrightarrow{AF}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 同向。
是的，$\overrightarrow{AF}$ 是从 $A$ 到 $F$，$\overrightarrow{FB}$ 是从 $F$ 到 $B$。若 $F$ 在线段 $AB$ 上，则这两个向量方向相同。
所以 $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{FB} = |\overrightarrow{AF}| |\overrightarrow{FB}|$。

同理，$\overrightarrow{FD}$ 从 $F$ 到 $D$，$\overrightarrow{EF}$ 从 $E$ 到 $F$。
$D, F, E$ 共线，$F$ 在中间。$\overrightarrow{FD}$ 与 $\overrightarrow{EF}$ 方向相同（都指向远离对方的方向？不，$\overrightarrow{EF}$ 指向 $F$，$\overrightarrow{FD}$ 离开 $F$。若 $E-F-D$，则 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{FD}$ 同向）。
所以 $\overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{EF} = |\overrightarrow{FD}| |\overrightarrow{EF}|$。

交叉项：
$\overrightarrow{AF}$ 在直线 $l_1$ 上，$\overrightarrow{EF}$ 在直线 $l_2$ 上。因为 $l_1 \perp l_2$，所以 $\overrightarrow{AF} \perp \overrightarrow{EF}$，即 $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EF} = 0$。
同理 $\overrightarrow{FD} \perp \overrightarrow{FB}$，即 $\overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{FB} = 0$。

因此：
$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} = |\overrightarrow{AF}| |\overrightarrow{FB}| + |\overrightarrow{FD}| |\overrightarrow{EF}| $$

根据抛物线定义（或焦半径公式）：
$|\overrightarrow{AF}| = x_1 + 1$
$|\overrightarrow{FB}| = x_2 + 1$
$|\overrightarrow{FD}| = x_3 + 1$
$|\overrightarrow{EF}| = x_4 + 1$ （注意长度是标量，与向量方向无关，只与坐标有关）

代入得：
$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} = (x_1 + 1)(x_2 + 1) + (x_3 + 1)(x_4 + 1) $$
展开：
$$ = (x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1) + (x_3 x_4 + x_3 + x_4 + 1) $$

代入韦达定理的结果：
$x_1 x_2 = 1, \quad x_1 + x_2 = 2 + \frac{4}{k^2}$
$x_3 x_4 = 1, \quad x_3 + x_4 = 2 + 4k^2$

$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} = \left( 1 + 2 + \frac{4}{k^2} + 1 \right) + \left( 1 + 2 + 4k^2 + 1 \right) $$
$$ = \left( 4 + \frac{4}{k^2} \right) + \left( 4 + 4k^2 \right) $$
$$ = 8 + 4k^2 + \frac{4}{k^2} $$
$$ = 8 + 4 \left( k^2 + \frac{1}{k^2} \right) $$

由基本不等式（$k^2 > 0$）：
$$ k^2 + \frac{1}{k^2} \ge 2 \sqrt{k^2 \cdot \frac{1}{k^2}} = 2 $$
当且仅当 $k^2 = \frac{1}{k^2}$，即 $k^2 = 1 \implies k = \pm 1$ 时取等号。

所以最小值为：
$$ 8 + 4 \times 2 = 16 $$