已知函数 f(x)=e^ x -a x 和 g(x)=a…——2022 高考数学第 22 题答案解析

（1）$f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f'(x)=e^x-a$。要使 $f(x)$ 有最小值，须 $a>0$。此时 $f'(x)=0$ 得 $x=\ln a$，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上递增，所以 $f(x)$ 的最小值为
$f(\ln a)=a-a\ln a$。

$g(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，$g'(x)=a-\frac1x$。当 $a>0$ 时，$g'(x)=0$ 得 $x=\frac1a$，且 $g(x)$ 在 $\left(0,\frac1a\right)$ 上递减，在 $\left(\frac1a,+\infty\right)$ 上递增，所以 $g(x)$ 的最小值为
$g\left(\frac1a\right)=1-\ln\frac1a=1+\ln a$。

由两函数最小值相同，得
$a-a\ln a=1+\ln a$，
即
$\ln a=\frac{a-1}{a+1}$。
令 $\varphi(a)=\frac{a-1}{a+1}-\ln a$，则
$\varphi'(a)=\frac{2}{(a+1)^2}-\frac1a=-\frac{a^2+1}{a(a+1)^2}<0$，
所以 $\varphi(a)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递减。又 $\varphi(1)=0$，故 $\varphi(a)=0$ 的唯一解为 $a=1$。

（2）由（1）知 $f(x)=e^x-x$，$g(x)=x-\ln x$。

先看两条曲线的形状。$f'(x)=e^x-1$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty)$ 上递增，最小值为 $f(0)=1$，且 $x\to-\infty$ 与 $x\to+\infty$ 时 $f(x)\to+\infty$。$g'(x)=1-\frac1x$，所以 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减，在 $(1,+\infty)$ 上递增，最小值为 $g(1)=1$，且 $x\to0^+$ 与 $x\to+\infty$ 时 $g(x)\to+\infty$。因此当 $b>1$ 时，方程 $f(x)=b$ 有两个根，一个为负、一个为正；方程 $g(x)=b$ 也有两个根，一个在 $(0,1)$，一个在 $(1,+\infty)$。

令
$H(x)=f(x)-g(x)=e^x+\ln x-2x$，$x>0$。
对 $x>0$，由 $e^x>x+1$ 得
$H'(x)=e^x+\frac1x-2>x+1+\frac1x-2=x+\frac1x-1\ge1>0$，
所以 $H(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增。又
$\lim_{x\to0^+}H(x)=-\infty$，且 $H(1)=e-2>0$，
故存在唯一 $x_0\in(0,1)$，使得 $H(x_0)=0$，即
$f(x_0)=g(x_0)$。
取
$b=f(x_0)=g(x_0)$。
由于 $x_0>0$，且 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，所以
$b=f(x_0)>f(0)=1$。

对这个 $b$，方程 $f(x)=b$ 的两个根中有一个是 $x_0$，记另一个为 $x_1$，则 $x_1<0<x_0$；方程 $g(x)=b$ 的两个根中有一个是 $x_0$，记另一个为 $x_2$，则 $0<x_0<1<x_2$。于是直线 $y=b$ 与两条曲线的交点横坐标为 $x_1,x_0,x_2$。

下面证明这三个数成等差数列。若 $t>0$ 满足 $g(t)=b$，则
$t-\ln t=b$，
即 $\ln t=t-b$，从而 $e^{t-b}=t$。于是
$e^{t-b}-(t-b)=t-(t-b)=b$，
所以 $t-b$ 是方程 $f(x)=b$ 的根。取 $t=x_0$，得 $x_0-b$ 是 $f(x)=b$ 的根。又 $b>1>x_0$，故 $x_0-b<0$，而 $f(x)=b$ 的负根唯一，因此
$x_1=x_0-b$。

若 $s$ 满足 $f(s)=b$，则
$e^s-s=b$，
即 $e^s=s+b$。由于 $e^s>0$，所以 $s+b>0$，且
$\ln(s+b)=s$。
于是
$(s+b)-\ln(s+b)=s+b-s=b$，
所以 $s+b$ 是方程 $g(x)=b$ 的根。取 $s=x_0$，得 $x_0+b$ 是 $g(x)=b$ 的根。由于 $x_0+b>x_0$，而 $g(x)=b$ 大于 $x_0$ 的根只能是 $x_2$，故
$x_2=x_0+b$。

由此
$x_1=x_0-b,\quad x_2=x_0+b$，
所以
$x_1+x_2=2x_0$。
又 $x_1<0<x_0<x_2$，故从左到右的三个交点横坐标 $x_1,x_0,x_2$ 成等差数列。所求直线 $y=b$ 存在。