已知函数 f(x)=|x-2|, g(x)=|2 x+3|…——2021 高考数学第 23 题答案解析

（1）由绝对值的定义，将函数化为分段函数：
对于 $f(x)=|x-2|$，有
$$f(x)=\begin{cases} 2-x, & x<2 \\ x-2, & x \geq 2 \end{cases}$$
其图像是以 $(2,0)$ 为顶点，开口向上的折线。

对于 $g(x)=|2x+3|-|2x-1|$，零点为 $x=-\frac{3}{2}$ 和 $x=\frac{1}{2}$。
当 $x < -\frac{3}{2}$ 时，$2x+3<0, 2x-1<0$，则 $g(x) = -(2x+3) - [-(2x-1)] = -4$；
当 $-\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ 时，$2x+3 \geq 0, 2x-1 < 0$，则 $g(x) = (2x+3) - [-(2x-1)] = 4x+2$；
当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$2x+3>0, 2x-1 \geq 0$，则 $g(x) = (2x+3) - (2x-1) = 4$。
即
$$g(x)=\begin{cases} -4, & x < -\frac{3}{2} \\ 4x+2, & -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ 4, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$$
其图像由三部分组成：$x < -1.5$ 时为射线 $y=-4$；$-1.5 \leq x < 0.5$ 时为连接 $(-1.5, -4)$ 和 $(0.5, 4)$ 的线段；$x \geq 0.5$ 时为射线 $y=4$。

（2）$f(x+a) = |x+a-2|$，其图像是将 $f(x)$ 的图像向左（$a>0$）或向右（$a<0$）平移 $|a|$ 个单位得到，顶点为 $(2-a, 0)$。
要使 $f(x+a) \geq g(x)$ 对任意 $x$ 恒成立，观察 $g(x)$ 的图像可知，$g(x)$ 的最大值为 4（当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时）。
若 $f(x+a)$ 的顶点在 $g(x)$ 取得最大值区间的右侧或附近，由于 $f(x+a)$ 左侧斜率为 -1，而 $g(x)$ 在 $x \geq \frac{1}{2}$ 时为常数 4，当 $x$ 足够大时，$f(x+a)$ 若取左支则趋向负无穷，不可能恒大于 4；若取右支则趋向正无穷。
为了保证在 $x \geq \frac{1}{2}$ 时 $f(x+a) \geq 4$，且考虑到 $f(x)$ 右支斜率为 1，$g(x)$ 中间段斜率为 4，若 $f(x+a)$ 的右支与 $g(x)$ 的中间段相交，由于 $1 < 4$，在交点右侧 $g(x)$ 会超过 $f(x+a)$。因此，$f(x+a)$ 必须整体位于 $g(x)$ 的“右上方”或“上方”，即 $f(x+a)$ 的右支需在 $g(x)$ 开始变为常数 4 之前（或之时）就已经达到或超过 4，并且在此之后保持增长（斜率 1 > 0）。

具体代数分析如下：
当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$g(x)=4$。
需 $|x+a-2| \geq 4$ 恒成立。
若 $x+a-2 < 0$，则 $2-x-a \geq 4 \Rightarrow x \leq -2-a$，这与 $x \geq \frac{1}{2}$ 矛盾（因为 $x$ 可以取任意大）。
故必须 $x+a-2 \geq 0$ 且 $x+a-2 \geq 4$，即 $x \geq 6-a$ 对所有 $x \geq \frac{1}{2}$ 成立。
所以 $\frac{1}{2} \geq 6-a$，解得 $a \geq \frac{11}{2}$。

此时顶点横坐标 $2-a \leq 2 - 5.5 = -3.5$。
当 $x < \frac{1}{2}$ 时：
若 $x < -\frac{3}{2}$，$g(x)=-4$，而 $f(x+a) \geq 0$，不等式显然成立。
若 $-\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2}$，$g(x)=4x+2$。
此时 $x \geq -1.5 > -3.5 \geq 2-a$，即 $x$ 在 $f(x+a)$ 顶点的右侧，
$f(x+a) = x+a-2$。
需 $x+a-2 \geq 4x+2$，即 $a-4 \geq 3x$。
因为 $x < \frac{1}{2}$，所以 $3x < \frac{3}{2}$。
由 $a \geq \frac{11}{2}$ 可知 $a-4 \geq \frac{11}{2} - 4 = \frac{3}{2}$。
故 $a-4 \geq \frac{3}{2} > 3x$ 恒成立。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $a \geq \frac{11}{2}$。