2021 全国甲卷 · 文 数学

设集合 $M=\{1,3,5,7,9\}, N=\{x \mid 2 x>7\}$ ，则 $M \cap N=~()$

为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$ ，则 $z=$（ ）

下列函数中是增函数的为（ ）

点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$ 。已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9 ，则其视力的小数记录法的数据为 $(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$

在一个正方体中，过顶点 $A$ 的三条棱的中点分别为 $E, F, G$ ．该正方体截去三棱锥 $A-E F G$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是

正视图

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $B=120^{\circ}, A C=\sqrt{19}, A B=2$ ，则 $B C=$（）

记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2}=4, S_{4}=6$ ，则 $S_{6}=$

将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为

若 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，则 $\tan \alpha=$

若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=5, \vec{a} \cdot \vec{b}=1$ ，则 $|\vec{b}|=$

已知一个圆锥的底面半径为 6 ，其体积为 $30 \pi$ 则该圆锥的侧面积为

已知函数 $f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，$P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 $99 \%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．

抛物线$C$的顶点为坐标原点$O$．焦点在$x$轴上，直线$l$：$x=1$交$C$于$P$，$Q$两点，且$OP\perp OQ$．已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切．
（1）求$C$，$\odot M$的方程；
（2）设$A_1,A_2,A_3$是$C$上的三个点，直线$A_1A_2$，$A_1A_3$均与$\odot M$相切．判断直线$A_2A_3$与$\odot M$的位置关系，并说明理由．

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为
$\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$.
（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点．

已知函数 $f(x)=|x-2|, g(x)=|2 x+3|-|2 x-1|$ ．

（1）画出 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像；
（2）若 $f(x+a) \geq g(x)$ ，求 $a$ 的取值范围．