## （18）（本小题满分 12 分） 袋中有五张卡片，其…——2012 高考数学第 18 题答案解析

（I）记三张红色卡片为 $R_1, R_2, R_3$，两张蓝色卡片为 $B_1, B_2$。
从 5 张卡片中任取 2 张，基本事件总数为 $\binom{5}{2} = 10$ 种。

设事件 $A$ 为“取出的两张卡片颜色不同且标号之和小于 4”。
满足颜色不同的取法即为从红色卡片中取 1 张、蓝色卡片中取 1 张，共有 $3 \times 2 = 6$ 种情况，分别为：
$(R_1, B_1)$，和为 $1+1=2 < 4$；
$(R_1, B_2)$，和为 $1+2=3 < 4$；
$(R_2, B_1)$，和为 $2+1=3 < 4$；
$(R_2, B_2)$，和为 $2+2=4 \not< 4$；
$(R_3, B_1)$，和为 $3+1=4 \not< 4$；
$(R_3, B_2)$，和为 $3+2=5 \not< 4$。

其中标号之和小于 4 的情况有 $(R_1, B_1), (R_1, B_2), (R_2, B_1)$ 共 3 种。
故所求概率 $P(A) = \frac{3}{10}$。

（II）加入一张标号为 0 的绿色卡片 $G_0$ 后，共有 6 张卡片。
从 6 张卡片中任取 2 张，基本事件总数为 $\binom{6}{2} = 15$ 种。

设事件 $B$ 为“取出的两张卡片颜色不同且标号之和小于 4”。
我们将满足条件的情况分为两类讨论：

1. 不含绿色卡片 $G_0$：
即从原有的红、蓝卡片中选取，由（I）可知，满足颜色不同且和小于 4 的情况有 3 种：$(R_1, B_1), (R_1, B_2), (R_2, B_1)$。

2. 含有绿色卡片 $G_0$：
另一张卡片必须从红、蓝卡片中选取，且颜色与绿色不同（显然红、蓝均与绿不同），同时标号之和小于 4。
- 若另一张为红色 $R_i$：和为 $i+0=i$。
$R_1$ (和1), $R_2$ (和2), $R_3$ (和3) 均小于 4。故 $(R_1, G_0), (R_2, G_0), (R_3, G_0)$ 这 3 种符合。
- 若另一张为蓝色 $B_j$：和为 $j+0=j$。
$B_1$ (和1), $B_2$ (和2) 均小于 4。故 $(B_1, G_0), (B_2, G_0)$ 这 2 种符合。

因此，含绿色卡片的符合条件的情况共有 $3 + 2 = 5$ 种。

综上，事件 $B$ 包含的基本事件数为 $3 + 5 = 8$ 种。
故所求概率 $P(B) = \frac{8}{15}$。