记 S_ n 为数列 a_ n 的前 n 项和， b_ n…——2021 高考数学第 19 题答案解析

由题意，对任意正整数 $n$，已知式中的分母均有意义，故 $S_n\ne0$，$b_n\ne0$。

当 $n=1$ 时，$S_1=b_1$，代入 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$ 得
$\frac{2}{b_1}+\frac{1}{b_1}=2$，即 $\frac{3}{b_1}=2$，所以 $b_1=\frac32$。

当 $n\ge2$ 时，$b_n$ 是 $S_1,S_2,\dots,S_n$ 的积，因此
$b_n=b_{n-1}S_n$，从而 $S_n=\frac{b_n}{b_{n-1}}$。
将其代入已知条件：
$\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$，得
$\frac{2b_{n-1}}{b_n}+\frac{1}{b_n}=2$，
即 $\frac{2b_{n-1}+1}{b_n}=2$。
于是 $2b_n=2b_{n-1}+1$，故
$b_n-b_{n-1}=\frac12$。

结合 $b_1=\frac32$，可知 $\{b_n\}$ 是首项为 $\frac32$、公差为 $\frac12$ 的等差数列。

由（1）得
$b_n=\frac32+(n-1)\cdot\frac12=\frac{n+2}{2}$。
再由 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$，得
$\frac{2}{S_n}=2-\frac{1}{b_n}=\frac{2b_n-1}{b_n}$，
所以
$S_n=\frac{2b_n}{2b_n-1}=\frac{n+2}{n+1}$。

于是
$a_1=S_1=\frac32$。
当 $n\ge2$ 时，
$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}
=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1)}
=-\frac{1}{n(n+1)}$。

因此
$a_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{3}{2}, n=1 \\ -\frac{1}{n(n+1)}, n \geq 2\end{array}\right.$。