（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交…——2015 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）连接 $AE, OE$。
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle AEB = 90^{\circ}$，即 $AE \perp BC$。
在 Rt$\triangle AEC$ 中，$D$ 为斜边 $AC$ 的中点，所以 $DE = DC = DA$，故 $\angle DEC = \angle DCE$。
因为 $OB = OE$，所以 $\angle OBE = \angle OEB$。
因为 $AC$ 是 $\odot O$ 的切线，$AB$ 是直径，所以 $AC \perp AB$，即 $\angle CAB = 90^{\circ}$。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle ACB + \angle ABC = 90^{\circ}$。
所以 $\angle DEC + \angle OEB = \angle DCE + \angle OBE = 90^{\circ}$。
又因为 $\angle DEC + \angle OEB + \angle OED = 180^{\circ}$，
所以 $\angle OED = 180^{\circ} - (\angle DEC + \angle OEB) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$。
即 $OE \perp DE$。
因为 $OE$ 是 $\odot O$ 的半径，所以 $DE$ 是 $\odot O$ 的切线。

（Ⅱ）设 $CE = 1$。由已知 $OA = \sqrt{3} CE$，得 $OA = \sqrt{3}$，则直径 $AB = 2\sqrt{3}$。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AE \perp BC$，由射影定理可知 $AE^2 = CE \cdot BE$。
设 $AE = x$，在 Rt$\triangle ABE$ 中，$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - x^2} = \sqrt{12 - x^2}$。
代入射影定理公式得：$x^2 = 1 \cdot \sqrt{12 - x^2}$。
两边平方得 $x^4 = 12 - x^2$，即 $x^4 + x^2 - 12 = 0$。
解关于 $x^2$ 的一元二次方程，$(x^2 + 4)(x^2 - 3) = 0$。
因为 $x^2 > 0$，所以 $x^2 = 3$，解得 $x = \sqrt{3}$（负值舍去）。
在 Rt$\triangle AEC$ 中，$\tan \angle ACE = \frac{AE}{CE} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。
因为 $\angle ACE$ 为锐角，所以 $\angle ACE = 60^{\circ}$，即 $\angle ACB = 60^{\circ}$。