2015 新课标 I 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot A = \{ x \vert x = 3 n + 2$ $\mathsf { n } { \in } { \mathsf { N } } \}$ $B = \{ 6 , ~ 8 , ~ 1 0 , ~ 1 2 , ~ 1 4 \}$ ，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量 $\overrightarrow { A C } = ( - 4 , - 3 )$ ，则向 $\begin{array} { r l } { \overrightarrow { \Xi } \overrightarrow { \mathrm { B C } } = } & { { } } \end{array}$ （　　）

（5分）已知复数z满足（z﹣1）$i=1+i$，则$z=$（　　）

（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）A $\frac { 3 } { 1 0 }$ B $\frac { 1 } { 5 }$ C $\frac { 1 } { 1 0 }$ D $\frac { 1 } { 2 0 }$

（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，E的右焦点与抛物线C：$y ^ { 2 } = 8 x$ 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则 $\left| \mathsf { A B } \right| =$ （ ）

（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

（5分）已知$\{a_n\}$是公差为$1$的等差数列，$S_n$为$\{a_n\}$的前$n$项和，若$S_8=4S_4$，则$a_{10}=$（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\scriptstyle { \mathrm { t } = 0 . 0 1 }$ ，则输出的n=（）

（5分）已知函数f $( \mathsf { x } ) \ \mathsf { \Gamma } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 ^ { \mathsf { x } - 1 } - 2 , \mathsf { x } \leqslant 1 } \\ { \displaystyle - 1 \mathsf { o g } _ { 2 } ( \mathsf { x } + 1 ) , \mathsf { x } > 1 } \end{array} \right.$ ，且f $( { \sf a } ) = - 3$ ，则f $( 6 - a$ ）=（　　）A $- \frac { 7 } { 4 }$ B $- \frac { 5 } { 4 }$ C $- \frac { 3 } { 4 }$ D $- \frac { 1 } { 4 }$

（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则$r=$（　　）

正视图 俯视图

（5分）设函数y=f（x）的图象与 $y = 2 ^ { x + a }$ 的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　）

（5分）在数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 1 } = 2$ ， $\mathtt { a } _ { \mathtt { n } + 1 } = 2 \mathtt { a } _ { \mathtt { I } }$ _n， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 为 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和，若 $S _ { \mathfrak { n } } { = } 1 2 6$ ，则 $n = 6$

（5分）已知函数f $( \mathsf { x } ) = \mathsf { a x } ^ { 3 } + \mathsf { x } ^ { + }$ 1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= 1

（5分）若$x,\,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y-2\leqslant0\\x-2y+1\leqslant0\\2x-y+2\geqslant0\end{cases}$，则$z=3x+y$的最大值为____．

（5分）已知F是双曲线C： $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 8 } = 1$ 的右焦点，P是C的左支上一点，A（0$6 \sqrt { 6 } )$ ．当 $\triangle A P F$ 周长最小时，该三角形的面积为 $\underline { { { 1 2 } } } \sqrt { 6 } _ { - }$

（12分）已知a，b，c分别是 $\Delta A B C$ 内角A，B，C的对边， $\sin ^ { 2 } B = 2 \sin A \sin C$

（Ⅰ）若a=b，求 $\mathtt { c o s B }$ ；

（Ⅱ）设 $\tt B = 9 0 ^ { \circ }$ ，且 $\scriptstyle \mathsf { a } = { \sqrt { 2 } } ,$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积

（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C： $( x - 2 ) ^ { 2 + } ( y - 3 )$ ²=1交于点M、N两点

（1）求k的取值范围；

（2）若 $\overrightarrow { O M } \cdot \overrightarrow { O N } = 1 2$ ，其中O为坐标原点，求|MN|

（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若 $O A = \sqrt { 3 } C E$ ，求 $\angle A C B$ 的大小