（12分）等差数列 a _ n 中， a _ 3 + a…——2016 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
由已知条件可得方程组：
$$ \begin{cases} a_3 + a_4 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 5d = 4 \\ a_5 + a_7 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 10d = 6 \end{cases} $$
解此方程组：
由第二个方程减去第一个方程，得 $5d = 2$，即 $d = \frac{2}{5}$。
将 $d = \frac{2}{5}$ 代入第一个方程，得 $2a_1 + 5 \times \frac{2}{5} = 4$，即 $2a_1 + 2 = 4$，解得 $a_1 = 1$。
故通项公式为：
$$ a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)\frac{2}{5} = \frac{5 + 2n - 2}{5} = \frac{2n+3}{5} $$

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $a_n = \frac{2n+3}{5}$，且 $b_n = [a_n]$。
我们需要计算数列 $\{b_n\}$ 的前10项和，即逐项计算 $n=1, 2, \dots, 10$ 时的 $b_n$ 值：

当 $n=1$ 时，$a_1 = \frac{2(1)+3}{5} = 1$，故 $b_1 = [1] = 1$；
当 $n=2$ 时，$a_2 = \frac{2(2)+3}{5} = 1.4$，故 $b_2 = [1.4] = 1$；
当 $n=3$ 时，$a_3 = \frac{2(3)+3}{5} = 1.8$，故 $b_3 = [1.8] = 1$；
当 $n=4$ 时，$a_4 = \frac{2(4)+3}{5} = 2.2$，故 $b_4 = [2.2] = 2$；
当 $n=5$ 时，$a_5 = \frac{2(5)+3}{5} = 2.6$，故 $b_5 = [2.6] = 2$；
当 $n=6$ 时，$a_6 = \frac{2(6)+3}{5} = 3.0$，故 $b_6 = [3.0] = 3$；
当 $n=7$ 时，$a_7 = \frac{2(7)+3}{5} = 3.4$，故 $b_7 = [3.4] = 3$；
当 $n=8$ 时，$a_8 = \frac{2(8)+3}{5} = 3.8$，故 $b_8 = [3.8] = 3$；
当 $n=9$ 时，$a_9 = \frac{2(9)+3}{5} = 4.2$，故 $b_9 = [4.2] = 4$；
当 $n=10$ 时，$a_{10} = \frac{2(10)+3}{5} = 4.6$，故 $b_{10} = [4.6] = 4$。

统计各项数值：
$b_1, b_2, b_3$ 均为 1，和为 $1 \times 3 = 3$；
$b_4, b_5$ 均为 2，和为 $2 \times 2 = 4$；
$b_6, b_7, b_8$ 均为 3，和为 $3 \times 3 = 9$；
$b_9, b_{10}$ 均为 4，和为 $4 \times 2 = 8$。

故前10项和 $S_{10} = 3 + 4 + 9 + 8 = 24$。