（1）在 $0 \sim t_0$ 时间内，金属棒位于 MN 左侧。此时回路中的感应电动势由左侧面积为 $S$ 的区域内磁场变化产生（感生电动势）。
根据法拉第电磁感应定律：
$$ E_1 = \frac{\Delta \Phi_1}{\Delta t} = \frac{\Delta B_1}{\Delta t} S $$
已知 $B_1 = kt$，则磁感应强度的变化率 $\frac{\Delta B_1}{\Delta t} = k$。
故感应电动势大小为：
$$ E_1 = kS $$
根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流为：
$$ I_1 = \frac{E_1}{R} = \frac{kS}{R} $$
由于 $k, S, R$ 均为常量，电流 $I_1$ 恒定。
流过电阻的电荷量 $q$ 为：
$$ q = I_1 t_0 = \frac{kS t_0}{R} $$
（2）当 $t > t_0$ 时，金属棒已越过 MN 并做匀速运动，速度为 $v_0$。
**① 计算总磁通量 $\Phi$**
穿过回路的总磁通量由两部分组成：
1. 左侧固定区域 $S$ 内的磁通量 $\Phi_1$：
$$ \Phi_1 = B_1 S = ktS $$
2. 右侧金属棒扫过区域的磁通量 $\Phi_2$：
金属棒从 $t_0$ 时刻开始进入右侧磁场，到 $t$ 时刻经过的时间为 $(t - t_0)$。
金属棒在右侧磁场中运动的位移为 $x = v_0(t - t_0)$。
该部分回路面积为 $lx = l v_0(t - t_0)$。
故 $\Phi_2 = B_0 \cdot l v_0(t - t_0)$。
由于两侧磁场方向相同（均垂直纸面向里），总磁通量为两者之和：
$$ \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 = ktS + B_0 l v_0(t - t_0) $$
**② 计算外加水平恒力 $F$**
金属棒做匀速运动，处于平衡状态，故外加恒力 $F$ 与安培力 $F_{\text{安}}$ 大小相等，方向相反。
首先求回路中的总感应电动势 $E_{\text{总}}$。根据法拉第电磁感应定律 $E = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$（或分别计算感生和动生电动势叠加）：
1. 感生电动势（由左侧磁场变化引起）：
$$ E_{\text{感}} = \frac{\Delta \Phi_1}{\Delta t} = \frac{d(ktS)}{dt} = kS $$
2. 动生电动势（由金属棒切割右侧磁感线引起）：
$$ E_{\text{动}} = B_0 l v_0 $$
根据楞次定律判断方向：
* 左侧磁场向里增强，感应电流磁场向外，由右手螺旋定则知感应电流为逆时针方向。
* 金属棒向右切割，由右手定则知感应电流方向向上（在棒内），即在回路中也是逆时针方向。
两电动势方向相同，故总电动势为：
$$ E_{\text{总}} = E_{\text{感}} + E_{\text{动}} = kS + B_0 l v_0 $$
回路中的感应电流为：
$$ I = \frac{E_{\text{总}}}{R} = \frac{kS + B_0 l v_0}{R} $$
金属棒受到的安培力大小为：
$$ F_{\text{安}} = B_0 I l = B_0 l \left( \frac{kS + B_0 l v_0}{R} \right) $$
由平衡条件 $F = F_{\text{安}}$，得外加水平恒力的大小为：
$$ F = \frac{B_0 l (kS + B_0 l v_0)}{R} $$
