（（本小题满分 12 分） 已知曲线 上的点到点 F(0,…——2014 高考数学第 21 题答案解析

（1）设 $S(x,y)$ 为曲线 $\Gamma$ 上任意一点。
由题意知，点 $S$ 到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y=-3$ 的距离小 2。
因为点 $S$ 到直线 $y=-3$ 的距离为 $|y - (-3)| = |y+3|$，且距离非负，故 $|y+3| \ge 2$，结合几何位置可知点 $S$ 必在直线 $y=-3$ 上方，即 $y > -3$，所以点 $S$ 到直线 $y=-3$ 的距离为 $y+3$。
根据条件可得：$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = (y+3) - 2 = y+1$。
两边平方得：$x^2 + (y-1)^2 = (y+1)^2$，
展开整理：$x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$，
化简得：$x^2 = 4y$。
故曲线 $\Gamma$ 的方程为 $x^2 = 4y$。

（2）线段 $AB$ 的长度不发生变化，定值为 $\sqrt{6}$。证明如下：
由（1）知曲线 $\Gamma$ 的方程为 $y = \frac{1}{4}x^2$。
设点 $P(x_0, y_0)$ 为曲线 $\Gamma$ 上异于原点的任意一点，则 $x_0 \neq 0$，且 $y_0 = \frac{1}{4}x_0^2$。
对 $y = \frac{1}{4}x^2$ 求导得 $y' = \frac{1}{2}x$，
所以切线 $l$ 的斜率 $k = \frac{1}{2}x_0$。
切线 $l$ 的方程为：$y - y_0 = \frac{1}{2}x_0(x - x_0)$，
代入 $y_0 = \frac{1}{4}x_0^2$ 并整理得：$y = \frac{1}{2}x_0 x - \frac{1}{4}x_0^2$。

令 $y=0$，解得 $x = \frac{1}{2}x_0$，所以点 $A$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}x_0, 0)$。
令 $y=3$，解得 $3 = \frac{1}{2}x_0 x - \frac{1}{4}x_0^2$，即 $\frac{1}{2}x_0 x = 3 + \frac{1}{4}x_0^2$，
解得 $x = \frac{6}{x_0} + \frac{1}{2}x_0$，所以点 $M$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}x_0 + \frac{6}{x_0}, 3)$。
直线 $y=3$ 与 $y$ 轴交于点 $N$，则 $N$ 的坐标为 $(0, 3)$。

以 $MN$ 为直径作圆 $C$，
圆心 $C$ 为线段 $MN$ 的中点，其横坐标为 $\frac{(\frac{1}{2}x_0 + \frac{6}{x_0}) + 0}{2} = \frac{1}{4}x_0 + \frac{3}{x_0}$，纵坐标为 3，
即 $C(\frac{1}{4}x_0 + \frac{3}{x_0}, 3)$。
圆 $C$ 的半径 $r = \frac{1}{2}|MN| = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{2}x_0 + \frac{6}{x_0} - 0 \right| = \left| \frac{1}{4}x_0 + \frac{3}{x_0} \right|$。

因为 $AB$ 是圆 $C$ 的切线，$B$ 为切点，连接 $AC, BC$，则 $BC \perp AB$。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$|AB|^2 = |AC|^2 - r^2$。
计算 $|AC|^2$：
$|AC|^2 = \left( \frac{1}{2}x_0 - (\frac{1}{4}x_0 + \frac{3}{x_0}) \right)^2 + (0 - 3)^2$
$= \left( \frac{1}{4}x_0 - \frac{3}{x_0} \right)^2 + 9$。
又 $r^2 = \left( \frac{1}{4}x_0 + \frac{3}{x_0} \right)^2$。
所以：
$|AB|^2 = \left[ \left( \frac{1}{4}x_0 - \frac{3}{x_0} \right)^2 + 9 \right] - \left( \frac{1}{4}x_0 + \frac{3}{x_0} \right)^2$
利用平方差公式或直接展开：
$= \left[ (\frac{1}{4}x_0)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4}x_0 \cdot \frac{3}{x_0} + (\frac{3}{x_0})^2 + 9 \right] - \left[ (\frac{1}{4}x_0)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x_0 \cdot \frac{3}{x_0} + (\frac{3}{x_0})^2 \right]$
$= -4 \cdot \left( \frac{1}{4}x_0 \cdot \frac{3}{x_0} \right) + 9$
$= -3 + 9 = 6$。
故 $|AB| = \sqrt{6}$。
综上所述，当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上运动时，线段 $AB$ 的长度保持不变，为 $\sqrt{6}$。