设函数 f(x)=x^ 3 +b x+c，曲线 y=f(x…——2020 高考数学第 21 题答案解析

（1）$f'(x)=3x^2+b$．切线与 $y$ 轴垂直，故切线水平，斜率为 $0$，所以 $f'\left(\frac12\right)=0$．即 $\frac34+b=0$，得 $b=-\frac34$．

（2）由（1）得 $f(x)=x^3-\frac34x+c$，$f'(x)=3x^2-\frac34=3\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right)$．因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\frac12)$ 和 $(\frac12,+\infty)$ 上单调递增，在 $(-\frac12,\frac12)$ 上单调递减．计算得
$f(-1)=c-\frac14$，$f\left(-\frac12\right)=c+\frac14$，$f\left(\frac12\right)=c-\frac14$，$f(1)=c+\frac14$．

已知 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 $1$ 的零点．反设还存在零点 $x_0$ 满足 $|x_0|>1$．

若 $x_0<-1$，由于 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\frac12)$ 上递增，且 $x_0<-1$，有 $0=f(x_0)<f(-1)=c-\frac14$，故 $c>\frac14$．

若 $x_0>1$，由于 $f(x)$ 在 $(\frac12,+\infty)$ 上递增，且 $x_0>1$，有 $0=f(x_0)>f(1)=c+\frac14$，故 $c<-\frac14$．

当 $c>\frac14$ 时，$f(-1),f\left(-\frac12\right),f\left(\frac12\right),f(1)$ 均为正．结合上述单调性，$f(x)$ 在 $[-1,-\frac12]$、$[-\frac12,\frac12]$、$[\frac12,1]$ 上的取值均与端点同号，故 $f(x)>0$ 对任意 $x\in[-1,1]$ 成立，不存在绝对值不大于 $1$ 的零点，与已知矛盾．

当 $c<-\frac14$ 时，$f(-1),f\left(-\frac12\right),f\left(\frac12\right),f(1)$ 均为负．同理由单调性可知 $f(x)<0$ 对任意 $x\in[-1,1]$ 成立，也不存在绝对值不大于 $1$ 的零点，与已知矛盾．

所以反设不成立，$f(x)$ 不存在绝对值大于 $1$ 的零点．又已知 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 $1$ 的零点，故其所有零点的绝对值都不大于 $1$．