（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知向量…——2015 高考数学第 16 题答案解析

(1) 由 $\mathbf{m} \perp \mathbf{n}$ 可知，两向量的数量积为 $0$。
即 $\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = 0$。
整理得 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) = 0$，故 $\sin x = \cos x$。
因为 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，所以 $\cos x \neq 0$。
等式两边同时除以 $\cos x$，得 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 1$。

(2) 计算向量的模：
$|\mathbf{m}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = 1$，
$|\mathbf{n}| = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x} = 1$。
设 $\mathbf{m}$ 与 $\mathbf{n}$ 的夹角为 $\theta = \frac{\pi}{3}$，根据向量夹角公式：
$\cos \theta = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|}$
代入数据得：
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x}{1 \times 1}$
即 $\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x)$。
化简得 $\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
利用辅助角公式变形左边：
$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$。
所以方程化为 $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$。
因为 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，所以 $x - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$。
在此区间内，正弦值为 $\frac{1}{2}$ 的角只有 $\frac{\pi}{6}$。
故 $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$，解得 $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$。