（本小题满分12分）设函数 f ( x ) = a x -…——2008 高考数学第 21 题答案解析

（1）由切线方程 $7x - 4y - 12 = 0$ 可得 $y = \frac{7}{4}x - 3$。
当 $x=2$ 时，$y = \frac{7}{4} \times 2 - 3 = \frac{1}{2}$，即切点坐标为 $(2, \frac{1}{2})$，且切线斜率 $k = \frac{7}{4}$。

对函数 $f(x) = ax - \frac{b}{x}$ 求导，得 $f'(x) = a + \frac{b}{x^2}$。
根据题意，有：
$\begin{cases} f(2) = 2a - \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \\ f'(2) = a + \frac{b}{4} = \frac{7}{4} \end{cases}$

解此方程组：
由第二个方程得 $4a + b = 7 \Rightarrow b = 7 - 4a$。
代入第一个方程：$2a - \frac{7-4a}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4a - (7-4a) = 1 \Rightarrow 8a = 8 \Rightarrow a = 1$。
则 $b = 7 - 4(1) = 3$。

故函数的解析式为 $f(x) = x - \frac{3}{x}$。

（2）设 $P(x_0, y_0)$ 为曲线 $y = x - \frac{3}{x}$ 上任意一点，则 $y_0 = x_0 - \frac{3}{x_0}$。
由（1）知 $f'(x) = 1 + \frac{3}{x^2}$，故在点 $P$ 处的切线斜率为 $k = 1 + \frac{3}{x_0^2}$。
切线方程为：
$y - y_0 = \left(1 + \frac{3}{x_0^2}\right)(x - x_0)$
即 $y - \left(x_0 - \frac{3}{x_0}\right) = \left(1 + \frac{3}{x_0^2}\right)(x - x_0)$

令 $x=0$，得：
$y = x_0 - \frac{3}{x_0} - \left(1 + \frac{3}{x_0^2}\right)x_0 = x_0 - \frac{3}{x_0} - x_0 - \frac{3}{x_0} = -\frac{6}{x_0}$
所以切线与直线 $x=0$（即 $y$ 轴）的交点为 $A\left(0, -\frac{6}{x_0}\right)$。

令 $y=x$，代入切线方程：
$x - \left(x_0 - \frac{3}{x_0}\right) = \left(1 + \frac{3}{x_0^2}\right)(x - x_0)$
$x - x_0 + \frac{3}{x_0} = \left(1 + \frac{3}{x_0^2}\right)x - \left(1 + \frac{3}{x_0^2}\right)x_0$
$x - x_0 + \frac{3}{x_0} = x + \frac{3}{x_0^2}x - x_0 - \frac{3}{x_0}$
$\frac{3}{x_0} = \frac{3}{x_0^2}x - \frac{3}{x_0}$
$\frac{6}{x_0} = \frac{3}{x_0^2}x$
解得 $x = 2x_0$，故 $y = 2x_0$。
所以切线与直线 $y=x$ 的交点为 $B(2x_0, 2x_0)$。

直线 $x=0$ 与直线 $y=x$ 相交于原点 $O(0,0)$。
所围成的三角形为 $\triangle OAB$。
以 $OA$ 为底，其长度为 $\left| -\frac{6}{x_0} \right| = \frac{6}{|x_0|}$。
点 $B$ 到 $y$ 轴（直线 $x=0$）的距离为 $h = |2x_0|$。

三角形面积 $S = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{|x_0|} \cdot |2x_0| = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$。

因为 $S=6$ 与 $x_0$ 无关，所以该三角形面积为定值，定值为 6。