2016_新课标III Paper
3．（6分）一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍。该质点的加速度为（ ）A $\frac { 2 s } { t ^ { 2 } }$ B $\frac { \mathsf { s } } { \mathsf { t } ^ { 2 } }$ C $\frac { 3 { \tt s } } { 2 \mathrm { t } ^ { 2 } }$ D $\frac { 4 \mathsf { s } } { \mathsf { t } ^ { 2 } }$
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设质点的质量为 $m$，初速度为 $v_0$，末速度为 $v_t$。
由动能定义式 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 及题意“动能变为原来的9倍”可知：
$$ \frac{1}{2}mv_t^2 = 9 \times \frac{1}{2}mv_0^2 $$
解得末速度与初速度的关系为：
$$ v_t = 3v_0 $$
质点做匀加速直线运动，在时间 $t$ 内的位移为 $s$。根据匀变速直线运动的平均速度公式 $\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}$ 以及位移公式 $s = \bar{v}t$，可得：
$$ s = \frac{v_0 + v_t}{2} t $$
将 $v_t = 3v_0$ 代入上式：
$$ s = \frac{v_0 + 3v_0}{2} t = 2v_0 t $$
由此解得初速度：
$$ v_0 = \frac{s}{2t} $$
根据加速度的定义式 $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$，有：
$$ a = \frac{v_t - v_0}{t} = \frac{3v_0 - v_0}{t} = \frac{2v_0}{t} $$
将 $v_0 = \frac{s}{2t}$ 代入加速度表达式：
$$ a = \frac{2 \times \frac{s}{2t}}{t} = \frac{s}{t^2} $$
故该质点的加速度为 $\frac{s}{t^2}$，选项 B 正确。