25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概
率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。
答案解析
Answer key
（1）$p_{1}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2}{3} ; p_{2}=\frac{7}{27}, q_{2}=\frac{16}{27}$ ；② $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}$ ##