小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如…——2022 高考数学第 19 题答案解析

（1）分别取 $AB, BC$ 的中点 $M, N$，连接 $MN, EM, FN$。
因为 $\triangle EAB$ 为正三角形，所以 $EM \perp AB$。
又因为平面 $EAB \perp$ 平面 $ABCD$，平面 $EAB \cap$ 平面 $ABCD = AB$，$EM \subset$ 平面 $EAB$，
所以 $EM \perp$ 平面 $ABCD$。
同理可得 $FN \perp$ 平面 $ABCD$。
所以 $EM // FN$。
因为 $\triangle EAB$ 与 $\triangle FBC$ 均为边长为 8 的正三角形，所以 $EM = FN = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$。
所以四边形 $EMNF$ 为平行四边形，故 $EF // MN$。
又因为 $MN \subset$ 平面 $ABCD$，$EF \not\subset$ 平面 $ABCD$，
所以 $EF //$ 平面 $ABCD$。

（2）分别取 $CD, DA$ 的中点 $L, K$，连接 $KL, GL, HK$。
由（1）可知，$EF // MN$ 且 $EF = MN$。同理可得 $HG // KL$ 且 $HG = KL$，$EH // KM$ 且 $EH = KM$，$FG // NL$ 且 $FG = NL$。
因为 $EM, FN, GL, HK$ 均垂直于平面 $ABCD$，且长度相等，
所以该几何体可以分割为中间的直四棱柱 $KMNL-EFGH$ 和四个全等的四棱锥（例如四棱锥 $B-MNFE$）。

对于直四棱柱 $KMNL-EFGH$：
底面 $KMNL$ 是连接正方形 $ABCD$ 各边中点所得的正方形，其边长 $MN = \sqrt{BM^2 + BN^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$。
高 $h = EM = 4\sqrt{3}$。
所以其体积 $V_1 = S_{KMNL} \cdot h = (4\sqrt{2})^2 \times 4\sqrt{3} = 32 \times 4\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$。

对于四棱锥 $B-MNFE$：
底面 $MNFE$ 是矩形（因为 $EM \perp$ 平面 $ABCD \Rightarrow EM \perp MN$），面积 $S = MN \cdot EM = 4\sqrt{2} \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{6}$。
顶点 $B$ 到底面 $MNFE$ 的距离 $d$ 即为点 $B$ 到直线 $MN$ 的距离。
在等腰直角 $\triangle MBN$ 中，$BM = BN = 4$，斜边 $MN = 4\sqrt{2}$，
所以 $d = \frac{BM \cdot BN}{MN} = \frac{4 \times 4}{4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$。
所以其体积 $V_2 = \frac{1}{3} S d = \frac{1}{3} \times 16\sqrt{6} \times 2\sqrt{2} = \frac{32}{3} \sqrt{12} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$。

该包装盒的容积 $V = V_1 + 4V_2 = 128\sqrt{3} + 4 \times \frac{64\sqrt{3}}{3} = \frac{384\sqrt{3} + 256\sqrt{3}}{3} = \frac{640}{3} \sqrt{3}$。