（2013•广东）（几何证明选讲选做题） 如图，AB是圆O…——2013 高考数学第 15 题答案解析

连接 $AC$。
因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆上，所以 $\angle ACB = 90^\circ$，即 $AC \perp BD$。
又因为 $BC = CD$，所以 $AC$ 是线段 $BD$ 的垂直平分线，故 $\triangle ABD$ 为等腰三角形，且 $AB = AD$。
由等腰三角形性质可知 $\angle B = \angle D$。

因为 $CE$ 是圆 $O$ 的切线，根据弦切角定理，$\angle ACE = \angle B$。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle B + \angle BAC = 90^\circ$。
在 $\triangle ACE$ 中，$\angle AEC = 180^\circ - (\angle CAE + \angle ACE)$。
因为 $AC$ 平分 $\angle BAD$（等腰三角形三线合一），所以 $\angle CAE = \angle BAC$。
代入得 $\angle AEC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
所以 $CE \perp AD$。

在 Rt$\triangle CED$ 和 Rt$\triangle ACB$ 中：
1. $\angle CED = \angle ACB = 90^\circ$
2. $\angle D = \angle B$
所以 $\triangle CED \sim \triangle ACB$。

根据相似三角形对应边成比例，有：
$$ \frac{CD}{AB} = \frac{ED}{CB} $$
已知 $AB = 6$，$ED = 2$，且 $CD = BC$，代入上式得：
$$ \frac{BC}{6} = \frac{2}{BC} $$
$$ BC^2 = 12 $$
解得 $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。