（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这…——2009 高考数学第 19 题答案解析

记 $A_i$ 为“第 $i$ 局甲胜”，$B_i$ 为“第 $i$ 局乙胜”。由题意知 $P(A_i)=0.6$，$P(B_i)=0.4$，且各局结果相互独立。
已知前2局双方各胜1局，此时比分为1:1。比赛规则为先胜3局者获胜，故后续比赛中，谁先再胜2局即获得最终胜利。

（I）设事件 $M$ 为“甲获得这次比赛的胜利”。
甲要获胜，需在后续的比赛中累计赢得2局。可能的情况如下：
1. 第3、4局甲连胜：$A_3 A_4$，概率为 $0.6 \times 0.6 = 0.36$；
2. 第3局乙胜，第4、5局甲胜：$B_3 A_4 A_5$，概率为 $0.4 \times 0.6 \times 0.6 = 0.144$；
3. 第3局甲胜，第4局乙胜，第5局甲胜：$A_3 B_4 A_5$，概率为 $0.6 \times 0.4 \times 0.6 = 0.144$。

这三种情况互斥，故甲获胜的概率为：
$$ P(M) = 0.36 + 0.144 + 0.144 = 0.648 $$

（II）随机变量 $\xi$ 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数。
由于当前比分1:1，若某方连赢2局，则比赛在第4局结束后停止，此时 $\xi=2$；若前2局（即第3、4局）双方各胜1局，则比分变为2:2，必须进行第5局决胜，此时 $\xi=3$。因此 $\xi$ 的可能取值为 2, 3。

计算概率：
当 $\xi=2$ 时，意味着第3、4局由同一人获胜（甲连胜或乙连胜）。
$$ P(\xi=2) = P(A_3 A_4) + P(B_3 B_4) = 0.6 \times 0.6 + 0.4 \times 0.4 = 0.36 + 0.16 = 0.52 $$

当 $\xi=3$ 时，意味着第3、4局胜负交替（一胜一负），需进行第5局。
$$ P(\xi=3) = 1 - P(\xi=2) = 1 - 0.52 = 0.48 $$
或者计算：$P(\xi=3) = P(A_3 B_4) + P(B_3 A_4) = 0.6 \times 0.4 + 0.4 \times 0.6 = 0.24 + 0.24 = 0.48$。

$\xi$ 的分布列为：

数学期望为：
$$ E\xi = 2 \times 0.52 + 3 \times 0.48 = 1.04 + 1.44 = 2.48 $$