（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，…——2016 高考数学第 19 题答案解析

**（1）证明：**
取 $PB$ 的中点 $G$，连接 $AG, NG$。
因为 $N$ 为 $PC$ 的中点，所以 $NG$ 是 $\triangle PBC$ 的中位线，故 $NG \parallel BC$ 且 $NG = \frac{1}{2}BC$。
由已知 $BC=4$，得 $NG=2$。
又因为 $AD \parallel BC$，且 $AM = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \times 3 = 2$，
所以 $AM \parallel BC$ 且 $AM = \frac{1}{2}BC = 2$。
由此可得 $NG \parallel AM$ 且 $NG = AM$。
所以四边形 $AMNG$ 为平行四边形，故 $MN \parallel AG$。
因为 $AG \subset$ 平面 $PAB$，$MN \not\subset$ 平面 $PAB$，
所以 $MN \parallel$ 平面 $PAB$。

**（2）解：**
在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC=3, BC=4$。
由余弦定理得 $\cos \angle ACB = \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 AC \cdot BC} = \frac{9+16-9}{2 \times 3 \times 4} = \frac{2}{3}$。
因为 $AD \parallel BC$，所以 $\angle MAC = \angle ACB$，即 $\cos \angle MAC = \frac{2}{3}$。
在 $\triangle AMC$ 中，由余弦定理得：
$MC^2 = AM^2 + AC^2 - 2 AM \cdot AC \cos \angle MAC = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \frac{2}{3} = 4 + 9 - 8 = 5$。
因为 $AM^2 + MC^2 = 4 + 5 = 9 = AC^2$，所以 $AM \perp MC$，即 $CM \perp AD$。
因为 $PA \perp$ 底面 $ABCD$，且 $CM \subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PA \perp CM$。
又 $PA \cap AD = A$，所以 $CM \perp$ 平面 $PAD$。
因为 $CM \subset$ 平面 $PMN$（注：此处需确认 $M,N,C$ 共面或构建法向量，几何法中通常利用面面垂直性质），更严谨地，由于 $CM \perp$ 平面 $PAD$，而平面 $PMN$ 包含直线 $MN$ 和点 $P,M$。
让我们换用空间向量法求解更为稳妥和通用。

**建立空间直角坐标系：**
取 $BC$ 中点 $E$，连接 $AE$。因为 $AB=AC$，所以 $AE \perp BC$。
又 $AD \parallel BC$，所以 $AE \perp AD$。
以 $A$ 为原点，分别以 $\vec{AE}, \vec{AD}, \vec{AP}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
在 Rt$\triangle ABE$ 中，$AB=3, BE=2$，则 $AE = \sqrt{3^2-2^2} = \sqrt{5}$。
各点坐标如下：
$A(0,0,0)$，
$P(0,0,4)$，
$D(0,3,0)$，
$M(0,2,0)$ （因为 $AM=2$），
$C(\sqrt{5}, 2, 0)$ （$C$ 的 $x$ 坐标为 $AE=\sqrt{5}$，$y$ 坐标为 $BE=2$ 对应的投影位置，注意 $AD \parallel BC$， $C$ 在 $y$ 轴方向投影距离 $A$ 为 $2$？不，$E$ 是 $BC$ 中点，$A$ 为原点，$E(\sqrt{5},0,0)$。$B(\sqrt{5}, -2, 0), C(\sqrt{5}, 2, 0)$。验证 $AC = \sqrt{5+4}=3$，正确。）
$N$ 为 $PC$ 中点，$P(0,0,4), C(\sqrt{5}, 2, 0)$，
所以 $N(\frac{\sqrt{5}}{2}, 1, 2)$。

**求平面 $PMN$ 的法向量：**
$\vec{PM} = (0, 2, -4)$，
$\vec{PN} = (\frac{\sqrt{5}}{2}, 1, -2)$。
设平面 $PMN$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{PM} = 2y - 4z = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{PN} = \frac{\sqrt{5}}{2}x + y - 2z = 0 \end{cases}$
由第一式得 $y = 2z$。
代入第二式：$\frac{\sqrt{5}}{2}x + 2z - 2z = 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{2}x = 0 \Rightarrow x = 0$。
令 $z=1$，则 $y=2$。
所以平面 $PMN$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (0, 2, 1)$。

**计算线面角：**
$\vec{AN} = (\frac{\sqrt{5}}{2}, 1, 2)$。
设直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角为 $\theta$，则
$\sin \theta = |\cos \langle \vec{AN}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\vec{AN} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AN}| |\vec{n}|}$
$\vec{AN} \cdot \vec{n} = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 0 + 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4$。
$|\vec{AN}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{5}{4} + 1 + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$。
$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
所以 $\sin \theta = \frac{4}{\frac{5}{2} \times \sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{25}$。

故直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值为 $\frac{8\sqrt{5}}{25}$。