2013_江苏 Paper
15．（15分）如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的匝数N＝100，边长 $\mathrm { a b } { = } 1 . 0 \mathrm { m } . \ \mathrm { b c } { = } 0 . 5 \mathrm { m }$ ，电阻r＝2Ω．磁感应强度B在0～1s 内从零均匀变化到 0.2T．在 1～5s 内从 0.2T 均匀变化到﹣0.2T，取垂直纸面向里为磁场的正方向。求：
（1）0.5s时线圈内感应电动势的大小E和感应电流的方向；
（2）在 1～5s 内通过线圈的电荷量 q；
（3）在0～5s内线圈产生的焦耳热Q。
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线圈面积 $S = ab \cdot bc = 1.0 \times 0.5 \, \mathrm{m}^2 = 0.5 \, \mathrm{m}^2$。
（1）在 $0 \sim 1\,\mathrm{s}$ 内，磁感应强度 $B$ 均匀增加，变化率大小为：
$$ \frac{\Delta B_1}{\Delta t_1} = \frac{0.2 - 0}{1} \, \mathrm{T/s} = 0.2 \, \mathrm{T/s} $$
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小为：
$$ E_1 = N \frac{\Delta \Phi_1}{\Delta t_1} = N S \frac{\Delta B_1}{\Delta t_1} = 100 \times 0.5 \times 0.2 \, \mathrm{V} = 10 \, \mathrm{V} $$
由于磁场垂直纸面向里且增强，根据楞次定律，感应电流的磁场应垂直纸面向外，由安培定则可知感应电流方向为逆时针方向（即 $a \to d \to c \to b \to a$）。
（2）在 $1 \sim 5\,\mathrm{s}$ 内，磁感应强度从 $0.2\,\mathrm{T}$ 均匀变化到 $-0.2\,\mathrm{T}$，时间 $\Delta t_2 = 4\,\mathrm{s}$。
该过程磁通量的变化量大小为：
$$ |\Delta \Phi_2| = S |\Delta B_2| = 0.5 \times |(-0.2) - 0.2| \, \mathrm{Wb} = 0.5 \times 0.4 \, \mathrm{Wb} = 0.2 \, \mathrm{Wb} $$
根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，通过线圈的电荷量为：
$$ q = \bar{I}_2 \Delta t_2 = \frac{\bar{E}_2}{r} \Delta t_2 = \frac{N \frac{|\Delta \Phi_2|}{\Delta t_2}}{r} \Delta t_2 = N \frac{|\Delta \Phi_2|}{r} $$
代入数据得：
$$ q = 100 \times \frac{0.2}{2} \, \mathrm{C} = 10 \, \mathrm{C} $$
（3）在 $0 \sim 1\,\mathrm{s}$ 内，感应电动势恒为 $E_1 = 10\,\mathrm{V}$，产生的焦耳热为：
$$ Q_1 = \frac{E_1^2}{r} t_1 = \frac{10^2}{2} \times 1 \, \mathrm{J} = 50 \, \mathrm{J} $$
在 $1 \sim 5\,\mathrm{s}$ 内，磁感应强度变化率大小为 $\left| \frac{\Delta B_2}{\Delta t_2} \right| = \frac{0.4}{4} = 0.1 \, \mathrm{T/s}$，感应电动势恒为：
$$ E_2 = N S \left| \frac{\Delta B_2}{\Delta t_2} \right| = 100 \times 0.5 \times 0.1 \, \mathrm{V} = 5 \, \mathrm{V} $$
产生的焦耳热为：
$$ Q_2 = \frac{E_2^2}{r} t_2 = \frac{5^2}{2} \times 4 \, \mathrm{J} = 50 \, \mathrm{J} $$
故 $0 \sim 5\,\mathrm{s}$ 内线圈产生的总焦耳热为：
$$ Q = Q_1 + Q_2 = 50 + 50 \, \mathrm{J} = 100 \, \mathrm{J} $$