（本小题满分 14 分） 已知 α ( π 2 , π )…——2014 高考数学第 15 题答案解析

由已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据同角三角函数关系可得：
$$ \cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2 \alpha} = -\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $$

（1）利用两角和的正弦公式展开：
$$ \begin{aligned} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) &= \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{5} \\ &= -\frac{2\sqrt{10}}{10} + \frac{\sqrt{10}}{10} \\ &= -\frac{\sqrt{10}}{10} \end{aligned} $$

（2）首先计算 $2\alpha$ 的三角函数值。
由二倍角公式得：
$$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2 \times \frac{5}{25} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $$
$$ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} \times \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{4}{5} $$

再利用两角差的余弦公式展开 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$：
$$ \begin{aligned} \cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right) &= \cos \frac{5 \pi}{6} \cos 2\alpha + \sin \frac{5 \pi}{6} \sin 2\alpha \\ &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \left(-\frac{4}{5}\right) \\ &= -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} \\ &= -\frac{4+3\sqrt{3}}{10} \end{aligned} $$