某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所…——2020 高考数学第 18 题答案解析

2020_新课标II Paper

2020 National Question 18 Free-response Differentiating
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18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据 $( x _ { i } , \ y _ { i } ) ( i \mathrm { = } 1 , \ 2 , \ \ . . . , \ 2 0 )$ ,其中x<sub>i</sub>和y<sub>i</sub>分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得 $\sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } x _ { i } = 6 0$ $\sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } y _ { i } = 1 2 0 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } = 8 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } ( y _ { i } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } = 9 0 0 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ( y _ { i } - \overline { { y } } ) = 8 0 0 .$

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);

(2)求样本 $( x _ { i } , \ y _ { i } ) ( i = 1 , \ 2 , \ \ldots , \ 2 0 )$ 的相关系数(精确到0.01);

(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.

附:相关系数 $r = { \frac { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } }$ ${ \sqrt { 2 } } = 1 . 4 1 4 .$

Answer key

(1) 12000; (2) 0.94; (3) 详见解析

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完整解析 · 逐步详解

(1)由题意知,样本中野生动物数量的总和 $\sum_{i=1}^{20} y_i = 1200$,样本容量 $n=20$。
样区野生动物数量的平均数为:
$$ \bar{y} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} y_i = \frac{1200}{20} = 60 $$
该地区共有地块 200 个,故该地区这种野生动物数量的估计值为:
$$ 200 \times 60 = 12000 $$

(2)根据相关系数公式及已知数据:
$$ \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 800 $$
$$ \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 = 80, \quad \sum_{i=1}^{20} (y_i - \bar{y})^2 = 9000 $$
代入公式计算相关系数 $r$:
$$ r = \frac{\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{20} (y_i - \bar{y})^2}} = \frac{800}{\sqrt{80 \times 9000}} $$
化简分母:
$$ \sqrt{80 \times 9000} = \sqrt{720000} = \sqrt{360000 \times 2} = 600\sqrt{2} $$
所以:
$$ r = \frac{800}{600\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$
将 $\sqrt{2} \approx 1.414$ 代入:
$$ r \approx \frac{2 \times 1.414}{3} = \frac{2.828}{3} \approx 0.9427 $$
精确到 0.01,得 $r \approx 0.94$。

(3)更合理的抽样方法是:分层抽样。
理由:由第(2)问可知,植物覆盖面积与野生动物数量之间存在较强的正相关关系($r \approx 0.94$)。题目指出各地块间植物覆盖面积差异很大,若采用简单随机抽样,可能导致样本中植物覆盖面积的分布与总体分布不一致,从而产生较大误差。
采用分层抽样,可以根据植物覆盖面积的大小将地块分为若干层(如高、中、低覆盖度),确保每层在样本中都有代表,且各层抽取的比例与总体中各层的比例一致。这样能更好地反映总体的结构特征,提高样本的代表性,从而获得更准确的估计值。

✅ 来源:2020年 · 全国 · 2020_新课标II卷 · 第 18 题 · 本题已通过全部自动发布校验

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