已知双曲线 C: x^ 2 -y^ 2 =m(m>0)，点…——2024 高考数学第 19 题答案解析

由 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，得
\[ m=5^2-4^2=9, \]
故 $C:x^2-y^2=9$。

（1）当 $k=\frac12$ 时，过 $P_1(5,4)$ 的直线为
\[ y-4=\frac12(x-5), \]
即
\[ y=\frac{x+3}{2}. \]
与 $C$ 联立：
\[ x^2-\left(\frac{x+3}{2}\right)^2=9. \]
化简得
\[ x^2-2x-15=0, \]
解得 $x=5$ 或 $x=-3$。$x=5$ 对应 $P_1$，故左支交点为 $Q_1(-3,0)$。其关于 $y$ 轴的对称点为 $P_2(3,0)$，所以
\[ x_2=3,\qquad y_2=0. \]

（2）对 $n\ge1$，将题设构造写为：过 $P_n$ 作斜率为 $k$ 的直线，与 $C$ 左支交于 $Q_n$，$P_{n+1}$ 是 $Q_n$ 关于 $y$ 轴的对称点。

记
\[ u_n=x_n-y_n,\qquad v_n=x_n+y_n. \]
因为 $P_n$ 在 $C$ 上，所以
\[ u_nv_n=x_n^2-y_n^2=9. \]
设
\[ r=\frac{1+k}{1-k}. \]
由于 $0<k<1$，有 $r>1$。

过 $P_n$ 的直线方程为
\[ y-y_n=k(x-x_n). \]
对直线上任一点 $(x,y)$，令 $u=x-y,\ v=x+y$，则
\[ x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}. \]
代入直线方程得
\[ \frac{(v-v_n)-(u-u_n)}2=k\frac{(v-v_n)+(u-u_n)}2, \]
整理得
\[ v-v_n=r(u-u_n). \tag{1} \]

该直线与 $C$ 的交点还满足 $uv=9$。由（1）得
\[ u[v_n+r(u-u_n)]=9, \]
即
\[ r u^2+(v_n-r u_n)u-9=0. \]
该方程的一个根为 $u_n$，另一根为 $Q_n$ 的 $u$ 坐标 $u_Q$。由韦达定理，
\[ u_nu_Q=-\frac9r. \]
又 $u_nv_n=9$，故
\[ u_Q=-\frac{v_n}{r}. \]
再由 $u_Qv_Q=9$，得
\[ v_Q=-r u_n. \]

$Q_n$ 关于 $y$ 轴对称得到 $P_{n+1}$。若 $Q_n$ 的 $(u,v)$ 为 $(u_Q,v_Q)$，则
\[ u_{n+1}=x_{n+1}-y_{n+1}=-x_Q-y_Q=-v_Q=r u_n, \]
\[ v_{n+1}=x_{n+1}+y_{n+1}=-x_Q+y_Q=-u_Q=\frac{v_n}{r}. \]
于是
\[ x_{n+1}-y_{n+1}=u_{n+1}=r u_n=\frac{1+k}{1-k}(x_n-y_n). \]
又
\[ u_1=x_1-y_1=5-4=1\ne0, \]
所以数列 $\{x_n-y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列。

（3）由（2）得
\[ u_n=r^{n-1},\qquad v_n=9r^{-(n-1)}. \]
在参数 $(u,v)$ 下记 $A_n=(u_n,v_n)$，则
\[ A_n=(r^{n-1},9r^{-(n-1)}). \]

由
\[ x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2} \]
可知，若参数差向量为 $(a,b),(c,d)$，则在 $x,y$ 坐标下对应差向量为
\[ \left(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}\right),\qquad \left(\frac{c+d}{2},\frac{d-c}{2}\right), \]
其行列式为
\[ \frac{(a+b)(d-c)-(b-a)(c+d)}4=\frac{ad-bc}{2}. \]
因此，若 $D_n$ 是参数平面中 $\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ 与 $\overrightarrow{A_nA_{n+2}}$ 的行列式，则
\[ S_n=\frac14|D_n|. \]

令 $t=r^{n-1}$，则
\[ A_n=(t,9/t),\quad A_{n+1}=(rt,9/(rt)),\quad A_{n+2}=(r^2t,9/(r^2t)). \]
于是
\[ \overrightarrow{A_nA_{n+1}} =\left((r-1)t,\ -\frac{9(r-1)}{rt}\right), \]
\[ \overrightarrow{A_nA_{n+2}} =\left((r^2-1)t,\ -\frac{9(r^2-1)}{r^2t}\right). \]
所以
\[ D_n= \begin{vmatrix} (r-1)t & -\dfrac{9(r-1)}{rt}\\[2mm] (r^2-1)t & -\dfrac{9(r^2-1)}{r^2t} \end{vmatrix} \]
\[ =(r-1)t\left(-\frac{9(r^2-1)}{r^2t}\right) -\left(-\frac{9(r-1)}{rt}\right)(r^2-1)t \]
\[ =9(r-1)(r^2-1)\left(\frac1r-\frac1{r^2}\right) =\frac{9(r-1)^3(r+1)}{r^2}. \]
该结果不含 $t=r^{n-1}$，故 $D_n$ 与 $n$ 无关，从而 $S_n$ 与 $n$ 无关。因此对任意正整数 $n$，
\[ S_n=S_{n+1}. \]