（7）在 ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别…——2010 高考数学第 7 题答案解析

【答案】A

【解答】
（5 分）（2010•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $a^{2}-b^{2}=\sqrt{3} \mathrm{bc}, \sin \mathrm{C}=2 \sqrt{3} \sin \mathrm{~B}$ ，则 $\angle \mathrm{A}$ 的值为（ ）
A．$\frac{\pi}{6}$
B．$\frac{\pi}{3}$
C．$\frac{5 \pi}{6}$
D．$\frac{2 \pi}{3}$

【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】先利用正弦定理化简 $\sin \mathrm{C}=2 \sqrt{3} \sin \mathrm{~B}$ ，得到 c 与 b 的关系式，代入 $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=\sqrt{3} \mathrm{bc}$中得到 $\mathrm{a}^{2}$ 与 $\mathrm{b}^{2}$ 的关系式，然后利用余弦定理表示出 $\cos \mathrm{A}$ ，把表示出的关系式分别代入即可求出 $\cos \mathrm{A}$ 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的值．
【解答】解：由 $\sin C=2 \sqrt{3} \sin B$ 得：$c=2 \sqrt{3} b$ ，

所以 $a^{2}-b^{2}=\sqrt{3} b c=\sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} b^{2}$ ，即 $a^{2}=7 b^{2}$ ，
则 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b^{2}+12 b^{2}-7 b^{2}}{4 \sqrt{3} b^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，又 $A \in(0, \pi)$ ，
所以 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{6}$ ．
故选 A．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道基础题。