2010 天津卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1） i 是虚数单位，复数 $\frac{-1+3 i}{1+2 i}=$

（2）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{x}+3 x$ 的零点所在的一个区间是

（3）命题＂若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(-x)$ 是奇函数＂的否命题是

（4）阅读右边的程序框图，若输出 s 的值为 -7 ，则判断框内可填写

（5）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $\mathrm{y}=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点在抛物线 $y^{2}=24 x$ 的准线上，则双曲线的方程为

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，$s_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，  且 $9 s_{3}=s_{6}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为

（7）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，若 $a^{2}-b^{2}=\sqrt{3} b c$ ， $\sin C=2 \sqrt{3} \sin B$ ，则 $\mathrm{A}=$

（8）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}\log _{2} x, x>0, \\ \log _{\frac{1}{2}}(-x), x<0\end{array}\right.$ ，若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})>\mathrm{f}(-\mathrm{a})$ ，则实数 a 的取值范围是

（9）设集合 $\mathrm{A}=\{x| | x-a \mid<1, x \in R\}, B=\{x| | x-b \mid>2, x \in R\}$ 。若 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ ，则实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 必满 足

（10）如图，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有

（11）甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 $\_\_\_\_$和 $\_\_\_\_$。 | 甲 | | | | | 乙 | | | | | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | | | | 9 | 8 | 1 | 9 | 7 | 1 | | | 0 | 1 | 3 | 2 | 0 | 2 | 1 | 4 | 2 | 4 | | | | 1 | 1 | 5 | 3 | 0 | 2 | 0 | |

（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 $\_\_\_\_$  俯视图

（13）已知圆 C 的圆心是直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=1+t\end{array}\right.$（ t 为参数）与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+3=0$相切，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$

（14）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P ，若 $\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PD}}=\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}$ 的值为 $\_\_\_\_$。 

（15）如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A D \perp A B, \overrightarrow{B C}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D},|\overrightarrow{A D}|=1$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=$ $\_\_\_\_$ ． $f\left(\frac{x}{m}\right)-4 m^{2} f(x) \leq f(x-1)+4 f(m)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（17）（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x-1(x \in R)$ （I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期及在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值； （II）若 $f\left(x_{0}\right)=\frac{6}{5}, x_{0} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值。

（18）．（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且各次射击的结果互不影响。 （I）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率 （II）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率； （III）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 $\xi$ 为射手射击 3 次后的总的分数，求 $\xi$ 的分布列。

（19）（本小题满分 12 分）如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E , F$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 上的点，$C F=A B=2 C E, A B: A D: A A_{1}=1: 2: 4$ （1）求异面直线 $E F$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值；  （2）证明 $A F \perp$ 平面 $A_{1} E D$ （3）求二面角 $A_{1}-E D-F$ 的正弦值。

（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 。 （1）求椭圆的方程； ②设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A, B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(-a, 0)$ ，点 $Q\left(0, y_{0}\right)$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=4$ ，求 $y_{0}$ 的值

（21）（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=x c^{-x}(x \in R)$ （I）求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值； （II）已知函数 $y=g(x)$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，证明当 $ x>1 \text { 时, } f(x)>g(x) $ （III）如果 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ ，证明 $x_{1}+x_{2}>2$

（22）（本小题满分 14 分） 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=0$ ，且对任意 $k \in N^{*} , a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ 成等差数列，其公差为 $d_{k}$ 。 （I）若 $d_{k}=2 k$ ，证明 $a_{2 k}, a_{2 k+1}, a_{2 k+2}$ 成等比数列 $\left(k \in N^{*}\right)$ （II）若对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k}, a_{2 k+1}, a_{2 k+2}$ 成等比数列，其公比为 $q_{k}$ 。 （i）设 $q_{1} \neq 1$ ．证明 $\left\{\frac{1}{q_{k}-1}\right\}$ 是等差数列； （ii）若 $a_{2}=2$ ，证明 $\frac{3}{2}<2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}} \leq 2(n \geq 2)$