已知 a , b R , a b > 0，函数 f ( x…——2021 高考数学第 9 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程【详解】由题意得 $f ( s - t ) f ( s + t ) = [ f ( s ) ] ^ { 2 }$ ，即 ${ \Big [ } a ( s - t ) ^ { 2 } + b { \Big ] } { \Big [ } a ( s + t ) ^ { 2 } + b { \Big ] } = \left( a s ^ { 2 } + b \right) ^ { 2 }$ 对其进行整理变形：${ \Big ( } a s ^ { 2 } + a t ^ { 2 } - 2 a s t + b { \Big ) } { \Big ( } a s ^ { 2 } + a t ^ { 2 } + 2 a s t + b { \Big ) } = { \Big ( } a s ^ { 2 } + b { \Big ) } ^ { 2 }$ $\left( a s ^ { 2 } + a t ^ { 2 } + b \right) ^ { 2 } - ( 2 a s t ) ^ { 2 } - \left( a s ^ { 2 } + b \right) ^ { 2 } = 0$ $\Big ( 2 a s ^ { 2 } + a t ^ { 2 } + 2 b \Big ) a t ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } s ^ { 2 } t ^ { 2 } = 0$ $- 2 a ^ { 2 } s ^ { 2 } t ^ { 2 } + a ^ { 2 } t ^ { 4 } + 2 a b t ^ { 2 } = 0$ 所以 $- 2 a s ^ { 2 } + a t ^ { 2 } + 2 b = 0$ 或t= 0，其中 $\frac { s ^ { 2 } } { \frac { b } { a } } - \frac { t ^ { 2 } } { \frac { 2 b } { a } } = 1$ 为双曲线，t =0为直线.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题