2021_新课标I卷
12. 在正三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $A B = A A _ { 1 } = 1$ ，点P满足 $\overrightarrow { B P } = \lambda \overrightarrow { B C } + \mu \overrightarrow { B B _ { 1 } }$ ，其中 $\lambda \in \left[ 0 , 1 \right]$
$\mu \in \left[ 0 , 1 \right]$ ，则（ ）
BD
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量 平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；的对 $\mathrm { \partial \mathcal { F } D }$ ，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数
【详解】
易知，点P在矩形 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ 内部（含边界）
对于A，当l=1时， $\overrightarrow { B P } = \overrightarrow { B C } + \mu \overrightarrow { B B _ { 1 } } = \overrightarrow { B C } + \mu \overrightarrow { C C _ { 1 } }$ ，即此时 $P \in$ 线段 $C C _ { 1 }$ ， $\triangle A B _ { 1 } P$ 周长不是定值，故A错误；
对于B，当 $\mu = 1$ 时， $\overrightarrow { B P } = \lambda \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { B B _ { 1 } } = \overrightarrow { B B _ { 1 } } + \lambda \overrightarrow { B _ { 1 } C _ { 1 } }$ ，故此时 P点轨迹为线段 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ ，而 $B _ { 1 } C _ { 1 } / / B C$ $B _ { 1 } C _ { 1 } / /$ 平面 $A _ { 1 } B C$ ，则有P到平面 $A _ { 1 } B C$ 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确
$$ \lambda = \frac { 1 } { 2 } $$
$$ \overrightarrow { B P } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { B C } + \mu \overrightarrow { B B _ { 1 } } $$
$$ B _ { 1 } C _ { 1 } $$
$$ \overrightarrow { B P } = \overrightarrow { B Q } + \mu \overrightarrow { Q H } $$
以P点轨迹为线段 $\boldsymbol Q H$ ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A $\left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , 1 \right)$ $P ( 0 , 0 , \mu )$
$B \biggl ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , 0 \biggr )$ ，则 $\overrightarrow { A _ { 1 } P } = \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , \mu - 1 \right)$ $\overrightarrow { B P } = \left( 0 , - \frac { 1 } { 2 } , \mu \right)$ $\mu ( \mu - 1 ) = 0$ ，所以 $\mu = 0$ 或 $\mu = 1$ ．故$H , Q$ 均满足，故C错误；
对于D，当 $\mu = \frac { 1 } { 2 }$ 时， $\overrightarrow { B P } = \lambda \overrightarrow { B C } + \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { B B _ { 1 } }$ ，取 $B B _ { 1 }$ ， $C C _ { 1 }$ 中点为M N, $\overrightarrow { B P } = \overrightarrow { B M } + \lambda \overrightarrow { M N }$ ，所以P点
轨迹为线段MN．设 $P \left( 0 , y _ { 0 } , { \frac { 1 } { 2 } } \right)$ ，因为 $A \left( { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } , 0 , 0 \right)$ ，所以 $\overrightarrow { A P } = \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , y _ { 0 } , \frac { 1 } { 2 } \right) , \overrightarrow { A _ { 1 } B } = \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - 1 \right)$ ，所以 $\frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } y _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } = 0 \Rightarrow y _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，此时P与N重合，故D正确
故选：BD
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.