（12分）如图，三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（II）作辅助线可证 $\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{FD}$ 为二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{AB}-\mathrm{C}$ 的平面角，解三角形由反三角函数可得。

【解答】解：（I）$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{D} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，
∴ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 ABC ，又 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{AC}$
$\therefore B C \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，连结 $A_{1} C$ ，
由侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形可得 $A C_{1} \perp A_{1} C$ ，
又 $A C_{1} \perp B C, A_{1} C \cap B C=C$ ，
$\therefore A C_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B C, A B_{1} \subset$ 平面 $A_{1} B C$ ，
$\therefore \mathrm{AC}_{1} \perp \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}$ ；
（II）$\because \mathrm{BC} \perp$ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}, ~ \mathrm{BCC}$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
∴ 平面 $\mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，
作 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{E} \perp \mathrm{CC}_{1}$ ， E 为垂足，可得 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{E} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，

又直线 $A A_{1} \|$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{E}$ 为直线 $\mathrm{AA}_{1}$ 与平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 的距离，即 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{E}=\sqrt{3}$ ，
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 为 $\angle \mathrm{ACC} \mathrm{C}_{1}$ 的平分线，$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{E}=\sqrt{3}$ ，
作 $\mathrm{DF} \perp \mathrm{AB}$ ， F 为垂足，连结 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F}$ ，
又可得 $A B \perp A_{1} D, \quad A_{1} F \cap A_{1} D=A_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DF}, \because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DF}$
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{AB}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{FD}$ 为二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{AB}-\mathrm{C}$ 的平面角，
由 $\mathrm{AD}=\sqrt{\mathrm{AA}_{1}{ }^{2}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}^{2}}=1$ 可知 D 为 AC 中点，
$\therefore \mathrm{DF}=\frac{1}{2} \times \frac{\mathrm{AC} \times \mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
$\therefore \tan \angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{FD}=\frac{\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}}{\mathrm{DF}}=\sqrt{15}$ ，
∴ 二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{AB}-\mathrm{C}$ 的大小为 $\arctan \sqrt{15}$

【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．