2014 大纲卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $M=\{1,2,4,6,8\}, N=\{1,2,3,5,6,7\}$ ，则 $M \cap N$ 中元素的个数为（ ）

2．（5分）已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-4,3)$ ，则 $\cos \alpha=$（ ）

3．（5分）不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x(x+2)>0 \\ |x|<1\end{array}\right.$ 的解集为

4．（5分）已知正四面体 $A B C D$ 中，$E$ 是 $A B$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为

5．（5分）函数 $y=\ln (\sqrt[3]{x}+1)(x>-1)$ 的反函数是（ ）

6．（5分）已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，其夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $(2 \vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{b}=$（）

7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有

8．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{2}=3, S_{4}=15$ ，则 $S_{6}=()$

9．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（ ）

11．（5分）双曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的离心率为 2 ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 C 的焦距等于（ ）

12．（5分）奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f(x+2)$ 为偶函数，且 $f(1)=1$ ，则 $f(8)+f(9)=(\quad)$

13．（5分）$(x-2)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ － 160 －（用数字作答）

14．（5分）函数 $y=\cos 2 x+2 \sin x$ 的最大值是－$\frac{3}{2}$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0 \\ x+2 y \leqslant 3 \\ x-2 y \leqslant 1\end{array}\right.$ 则 $z=x+4 y$ 的最大值为 5 ．

16．（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1}$与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $-\frac{4}{3}$ —。

17．（10分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}+2$ 。 （I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列； （II）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

18．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $3 a \cos C=2 \cos A$ ， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ，求 B ．

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在 $A C$ 上 ，$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=\mathrm{CC}_{1}=2$ ． （ I ）证明：$A C_{1} \perp A_{1} B$ ； （II）设直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求二面角 $A_{1}-A B-C$ 的大小． 

20．（ 12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ． $6,0.5,0.5,0.4, ~$ 各人是否需使用设备相互独立． （I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （II）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求＂同一工作日需使用设备的人数大于 k ＂的概率小于 0.1 ，求 k 的最小值．

21．（12分）函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+3 x(a \neq 0)$ ． （I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性； （II）若 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，求 $a$ 的取值范围．

22．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ． （I）求C的方程； （II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、N两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．