（19）（满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中…——2009 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分 12分。
**方法一**：（I ）解：由题设知， $\mathrm{BF} / / \mathrm{CE}$ ，所以 $\angle \mathrm{CED}$（或其补角）为异面直线 BF 与 DE 所成的角。设 P 为 AD 的中点，连结 $\mathrm{EP}, \mathrm{PC}$ 。因为 $\mathrm{FE} \stackrel{/ /}{=} \mathrm{AP}$ ，所以 $\mathrm{FA}_{=}^{/ /} \mathrm{EP}$ ，同理 $\mathrm{AB} \stackrel{/ /}{=} \mathrm{PC}$ 。又 $\mathrm{FA} \perp$ 平面 ABCD ，所以 $\mathrm{EP} \perp$ 平面 ABCD 。而 $\mathrm{PC}, \mathrm{AD}$ 都在平面 ABCD 内，故 $\mathrm{EP} \perp \mathrm{PC}, \mathrm{EP} \perp \mathrm{AD}$ 。由 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}$ ，可得 PC

$\perp \mathrm{AD}$ 设 $\mathrm{FA}=\mathrm{a}$ ，则 $\mathrm{EP}=\mathrm{PC}=\mathrm{PD}=\mathrm{a}, \mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}=\sqrt{2} a$ ，故 $\angle \mathrm{CED}=60^{\circ}$ 。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 $60^{\circ}$
（
II ）
证
明
：
因
为
$D C=D E$ 且 M 为 CE 的中点，所以 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{CE}$ ．连结 MP ，则 $\mathrm{MP} \perp \mathrm{CE}$ ．
又 $\mathrm{MP} \cap \mathrm{DM}=\mathrm{M}$ ，故 $\mathrm{CE} \perp$ 平面 AMD ．而 $\mathrm{CE} \subset$ 平面 CDE ，所以平面 $\mathrm{AMD} \perp$ 平面 CDE ．
（III）解：设 Q 为 CD 的中点，连结 $\mathrm{PQ}, \mathrm{EQ}$ ．因为 $\mathrm{CE}=\mathrm{DE}$ ，所以 $\mathrm{EQ} \perp \mathrm{CD}$ ．因为
$\mathrm{PC}=\mathrm{PD}$ ，所以 $\mathrm{PQ} \perp \mathrm{CD}$ ，故 $\angle \mathrm{EQP}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{CD}-\mathrm{E}$ 的平面角．
由（I）可得，$E P \perp P Q, \mathrm{EQ}=\frac{\sqrt{6}}{2} a, P Q=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ．
于是在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{EPQ}$ 中， $\cos \angle E Q P=\frac{P Q}{E Q}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
**方法二**：如图所示，建立空间直角坐标系，
点 $A$ 为坐标 原点。设 $A B=1$ ，依题意得 $\mathrm{B}(1,0,0), C(1,1,0), \quad D(0,2,0), \quad E(0,1,1)$, $\mathrm{F}(0,0,1)$,
$\mathrm{M}\left(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}\right)$.
（I）解： $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=(-1,0,1), \quad \overrightarrow{\mathrm{DE}}=(0,-1,1)$ ，

于是 $\cos \langle\overrightarrow{B F}, \overrightarrow{\mathrm{DE}}\rangle=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BF}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{DE}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BF}}||\overrightarrow{\mathrm{DE}}|}=\frac{0+0+1}{\sqrt{2} \bullet \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ ．
所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 $60^{\circ}$ ．
（II）证明：由 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\left(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{CE}}=(-1,0,1), \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(0,2,0)$ ，可得 $\overrightarrow{\mathrm{CE}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{AM}}=0$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{AD}}=0$ ．因此， $\mathrm{CE} \perp \mathrm{AM}, \mathrm{CE} \perp \mathrm{AD}$ ．又 $\mathrm{AM} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{A}$ ，故 $\mathrm{CE} \perp$ 平面 AMD ．
而 $\mathrm{CE} \subset$ 平面 CDE ，所以平面 $\mathrm{AMD} \perp$ 平面 CDE ．
（III）解：设平面 CDE 的法向量为 $u=(x, y, z)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}u \bullet \overrightarrow{C E}=0, \\ u \bullet \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0 .\end{array}\right.$
于是 $\left\{\begin{array}{l}-x+z=0, \\ -y+z=0 .\end{array}\right.$ 令 $x=1$, 可得 $u=(1,1,1)$ ．
又由题设，平面 $A C D$ 的一个法向量为 $v=(0,0,1)$ ．
所以， $\cos \langle u, v\rangle=\frac{u \bullet v}{|u \| v|}=\frac{0+0+1}{\sqrt{3} \bullet 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．