2009 天津卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1） i 是虚数单位，$\frac{5 i}{2-i}=$

（2）设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 3 \\ x-y \geq-1 \\ 2 x-y \leq 3\end{array}\right.$ ．则目标函数 $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}$ 的最小值为

（3）命题＂存在 $x_{0} \in \mathrm{R}, 2^{x_{0}} \leq 0$＂的否定是

（4）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x-\ln x(x>0)$ ，则 $y=f(x)$ A 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right),(1, e)$ 内均有零点。 B 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right),(1, e)$ 内均无零点。 C 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right)$ 内有零点，在区间 $(1, e)$ 内无零点。 D 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right)$ 内无零点，在区间 $(1, e)$ 内有零点。 

（5）阅读右图的程序框图，则输出的 $\mathrm{S}=$ A 26 B 35 C 40 D 57

（6）设 $a>0, b>0$ ．若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 A 8 B 4 C 1 D $\frac{1}{4}$

（7）已知函数 $f(x)=\sin \left(\varpi x+\frac{\pi}{4}\right)(x \in R, \varpi>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，为了得到函数 $g(x)=\cos \varpi x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象 A 向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度 B 向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度 C 向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度 D 向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度

（8）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 x, x \geq 0, \\ 4 x-x^{2}, x<0,\end{array}\right.$ 若 $f\left(2-a^{2}\right)>f(a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 A $(-\infty,-1) \cup(2,+\infty)$ B（ $-1,2$ ） C $(-2,1)$ D $(-\infty,-2) \cup(1,+\infty)$

（9）．设抛物线 $y^{2}=2 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，过点 $\mathrm{M}(\sqrt{3}, 0)$ 的直线与抛物线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与抛物线的准线相交于 $\mathrm{C},|B F|=2$ ，则 $\triangle \mathrm{BCF}$ 与 $\triangle \mathrm{ACF}$ 的成面积之比 $\frac{S_{\triangle B C F}}{S_{\triangle A C F}}=$

（10） $.0<\mathrm{b}<1+\mathrm{a}$ ，若关于 x 的不等式 $(x-b)^{2}>(a x)^{2}$ 的解集中的整数恰有 3 个，则

（11）某学院的 A，B，C 三个专业共有 1200 名学生，为了调 查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生， B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取 $\_\_\_\_$名学生。

（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 $3 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$  正视图 $\_\_\_\_$  側梘且  修精固

（13）设直线 $l_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=1+3 t\end{array}\right.$（ t 为参数），直线 $l_{2}$ 的方程为 $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+4$ 则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $\_\_\_\_$

（14）若圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 a y-6=0 ~(\mathrm{a}>0) ~$ 的公共弦的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$

（15）在四边形 ABCD 中， $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=(1,1), \frac{1}{|\overrightarrow{B A}|} \overrightarrow{B A}+\frac{1}{|\overrightarrow{B C}|} \overrightarrow{B C}=\frac{\sqrt{3}}{|\overrightarrow{B D}|} \overrightarrow{B D}$ ，则四边形 ABCD 的面积是 $\_\_\_\_$

（16）用数字 $0,1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 $\_\_\_\_$个（用数字作答）

（17）（满分 12 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{BC}=\sqrt{5}, \mathrm{AC}=3, \sin \mathrm{C}=2 \sin \mathrm{~A}$ （I）求 AB 的值： （II）求 $\sin \left(2 A-\frac{\pi}{4}\right)$ 的值

（18）（满分 12 分）在 10 件产品中，有 3 件一等品， 4 件二等品， 3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求： （I）取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望； （II）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

（19）（满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中， $\mathrm{FA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AD} / / \mathrm{BC} / / \mathrm{FE}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}, \mathrm{M}$ 为 EC 的中点， $\mathrm{AF}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{FE}=$  $\frac{1}{2} \mathrm{AD}$ （I）求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； （II）证明平面 $\mathrm{AMD} \perp$ 平面 CDE ； （III）求二面角 A－CD－E 的余弦值

（20）（满分 12 分） 已知函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-2 a^{2}+3 a\right) e^{x}(x \in R)$ ，其中 $a \in R$ ①当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的斜率； ②当 $a \neq \frac{2}{3}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值。

（21）（满分 14 分） 以知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$ 和 $F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，过点 $E\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 的直线与陏圆相交与 $A, B$ 两点，且 $F_{1} A / / F_{2} B,\left|F_{1} A\right|=2\left|F_{2} B\right|$ 。 （1）求椭圆的离心率 （2）求直线 AB 的斜率； ③设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 $F_{2} B$ 上有一点 $H(m, n)(m \neq 0)$ 在 $\Delta A F_{1} C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值

（22）（满分 14 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\mathrm{d}(\mathrm{d} \neq 0)$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 q $(\mathrm{q}>1)$ 。设 $s_{n}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} \ldots .+a_{n} b_{n}, T_{n}=a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}+\ldots . .+(-1)^{n-1} \quad a_{n} b_{n}, \mathrm{n} \in N^{+}$ （I）若 $a_{1}=b_{1}=1, \mathrm{~d}=2, \mathrm{q}=3$ ，求 $S_{3}$ 的值； （II）若 $b_{1}=1$ ，证明 $(1-\mathrm{q}) S_{2 n}-(1+\mathrm{q}) T_{2 n}=\frac{2 d q\left(1-q^{2 n}\right)}{1-q^{2}}, \mathrm{n} \in N^{+}$； （III）若正数 n 满足 $2 \leq \mathrm{n} \leq \mathrm{q}$ ，设 $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}$ 和 $l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}$ 是 $1,2, \ldots, \mathrm{n}$ 的两个不同的排列， $c_{1}=a_{k_{1}} b_{1}+a_{k_{2}} b_{2}+\ldots+a_{k_{n}} b_{n}, \quad c_{2}=a_{l_{1}} b_{1}+a_{l_{2}} b_{2}+\ldots+a_{l_{n}} b_{n}$ 证明 $c_{1} \neq c_{2}$ 。 ## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） ## 数学（理工类）参考解答 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。