2014_daganji_old
17．（10分）数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { a } _ { 2 } = 2 , ~ \mathsf { a } _ { n + 2 } = 2 \mathsf { a } _ { n + 1 } - \mathsf { a } _ { { n } } + 2$
（Ⅰ）设 $\mathsf { b } _ { \mathsf { n } } { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ ，证明 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 是等差数列；
（Ⅱ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式
【专题】54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）将 $\mathtt { a } _ { \mathfrak { n } + 2 } = 2 \mathsf { a } _ { \mathfrak { n } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathfrak { n } } + 2$ 变形为： $\mathfrak { a } _ { \mathfrak { n } + 2 } - \mathfrak { a } _ { \mathfrak { n } + 1 } = \mathfrak { a } _ { \mathfrak { n } + 1 } - \mathfrak { a } _ { \mathfrak { n } } + 2$ ，再由条件得 $\boldsymbol { \mathsf { b } } _ { \mathsf { n } }$ $\phantom { } _ { 1 } = b _ { n } + 2$ ，根据条件求出 $\mathsf { b } _ { 1 }$ ，由等差数列的定义证明 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出 ${ \mathsf { b } } _ { \mathsf { n } }$ ，代入 $\ b _ { \mathrm { b } } = \beth _ { \ b { \mathrm { n } } + 1 } - \beth _ { \ b { \mathrm { n } } }$ 并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{$\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式 $\cdot a _ { \mathsf { n } }$
【解答】解：（Ⅰ）由 $a _ { n + 2 } = 2 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } + 2$ 得，
$$ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 2 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } + 2 $$
由 $\mathsf { b } _ { \mathsf { n } } { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 得， $\mathsf { b } _ { \mathsf { n } + 1 } = \mathsf { b } _ { \mathsf { n } } + 2$
即 $\mathsf { b } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { b } _ { \mathsf { n } } = 2$
又 $\mathsf { b } _ { 1 } { = } \mathsf { a } _ { 2 } - \mathsf { a } _ { 1 } { = } 1$
所以 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 是首项为1，公差为2的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， $b _ { \mathsf { n } } { = } 1 { + } 2 ( \mathsf { n } - 1 ) = 2 \mathsf { n } - 1$
由 $b _ { n } = \mathsf { a } _ { n + 1 } - \mathsf { a } _ { n } \varkappa _ { \pmb { \sharp } } ^ { \mathrm { E } } , \mathsf { a } _ { { \mathsf { n } } + 1 } - \mathsf { a } _ { { \mathsf { n } } } = 2 { \mathsf { n } } - 1$
则 $a _ { 2 } - a _ { 1 } = 1 , a _ { 3 } - a _ { 2 } = 3 , a _ { 4 } - a _ { 3 } = 5 , . . . , a _ { n } - a _ { n - 1 } = 2 ( n - 1 ) - 1$
所以， $a _ { n } - a _ { 1 } = 1 + 3 + 5 + \ldots + 2 ( n - 1 ) - 1$
$$ = \frac { ( n - 1 ) ( 1 + 2 n - 3 ) } { 2 } = ( n - 1 ) ^ { 2 } , $$
又 $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$
所以 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式 $a _ { n } = ( n - 1 ) ^ { 2 } + 1 = n ^ { 2 } - 2 n + 2$
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题