2017_新课标III卷
10．（5分）在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中，E为棱CD的中点，则（ ）A $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { D } \mathsf { C } _ { 1 }$ B $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { B } \mathsf { D }$ C $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { B C } _ { 1 }$ D $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { A C }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角
【分析】法一：连 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C }$ ，推导出 $\mathsf { B C } _ { 1 } \bot \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \bot \mathsf { B C } _ { 1 }$ ，从而 ${ \mathsf { B C } } _ { 1 } \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E C B } _ { 1 }$ ，由此得到 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { B C } _ { 1 }$
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果
【解答】解：法一：连 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C }$ ，由题意得 $\mathtt { B C } _ { 1 } \bot \mathtt { B } _ { 1 } \mathsf { C }$
$\because A _ { 1 } B _ { 1 } \bot$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$ ，且 ${ \mathsf { B C } } _ { 1 } \subset$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$
$\therefore A _ { 1 } B _ { 1 } \bot B C _ { 1 }$
$\because A _ { 1 } B _ { 1 } \cap \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } = \mathsf { B } _ { 1 }$
$\therefore B C _ { 1 } \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E C B } _ { 1 }$
$\because A _ { 1 } E \subset$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E C B } _ { 1 }$
$\therefore A _ { 1 } E \bot B C _ { 1 }$
故选：C
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中棱长为2，
则A<sub>1</sub>（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C<sub>1</sub>（0，2，2）， ${ \textsf { A } } ( 2 , \ 0 , \ 0 ) , { \textsf { C } } ( 0 , \ 2 , \ 0 )$
$\overrightarrow { \mathbb { A } _ { 1 } \mathbb { E } } ^ { = } \left( \begin{array} { c c c } { - 2 , } & { 1 , } & { - 2 ) } \end{array} \right) , \overrightarrow { \mathrm { D C } _ { 1 } } ^ { = } \left( \begin{array} { c c c } { 0 , } & { 2 , } & { 2 ) } \end{array} \right) , \overrightarrow { \mathbb { B } } \mathbb { = } \left( \begin{array} { c c c } { - 2 , } & { - 2 , } & { 0 } \end{array} \right)$
$\overrightarrow { \mathrm { B C } _ { 1 } } = ( - 2 , 0 , 2 ) , \overrightarrow { \mathrm { A C } } = ( - 2 , 2 , 0 )$
$\because \overrightarrow { \mathrm { A _ { 1 } \mathrm { E } } } ^ { \bullet } \overrightarrow { \mathrm { D } \mathrm { C _ { 1 } } } ^ { \bullet } = - ~ 2 , \overrightarrow { \mathrm { A _ { 1 } \mathrm { E } } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { B D } } ^ { = 2 } , \overrightarrow { \mathrm { A _ { 1 } \mathrm { E } } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { B C _ { 1 } } } ^ { \bullet } = 0 , \overrightarrow { \mathrm { A _ { 1 } \mathrm { E } } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { A C } } = 6$
$\therefore A _ { 1 } E \bot B C _ { 1 }$
故选：C
【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用