（12分） A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b…——2017 高考数学第 17 题答案解析

（1）由三角形面积公式 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B$，结合已知条件 $S_{\triangle ABC} = \frac{a^2}{3\sin A}$，可得：
$$ \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{a^2}{3\sin A} $$
整理得：
$$ 3c\sin B\sin A = 2a $$
根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$，即 $c = \frac{a\sin C}{\sin A}$，代入上式：
$$ 3 \cdot \frac{a\sin C}{\sin A} \cdot \sin B \cdot \sin A = 2a $$
化简得：
$$ 3a\sin B\sin C = 2a $$
因为 $a \neq 0$，所以：
$$ \sin B\sin C = \frac{2}{3} $$

（2）由已知 $6\cos B\cos C = 1$，得 $\cos B\cos C = \frac{1}{6}$。
利用两角和的余弦公式及三角形内角和性质：
$$ \cos(B+C) = \cos B\cos C - \sin B\sin C = \frac{1}{6} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} $$
因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\cos A = \cos[\pi-(B+C)] = -\cos(B+C) = \frac{1}{2}$。
又因为 $0 < A < \pi$，所以 $A = \frac{\pi}{3}$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，可得：
$$ \sin B = \frac{b\sin A}{a}, \quad \sin C = \frac{c\sin A}{a} $$
代入 $\sin B\sin C = \frac{2}{3}$：
$$ \frac{bc\sin^2 A}{a^2} = \frac{2}{3} $$
已知 $a=3, A=\frac{\pi}{3}$，则 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin^2 A = \frac{3}{4}$。
$$ \frac{bc \cdot \frac{3}{4}}{9} = \frac{2}{3} \implies \frac{bc}{12} = \frac{2}{3} \implies bc = 8 $$

由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，得：
$$ 9 = b^2 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} $$
$$ 9 = b^2 + c^2 - 8 \implies b^2 + c^2 = 17 $$
利用完全平方公式求 $b+c$：
$$ (b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 17 + 2 \times 8 = 33 $$
因为 $b,c > 0$，所以 $b+c = \sqrt{33}$。
故 $\triangle ABC$ 的周长为 $a+b+c = 3+\sqrt{33}$。