（12分）已知抛物线C： y ^ 2 = 2 p x (…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为 $( \times _ { 0 } , ~ 4 )$ ，把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得 $x _ { 0 } = \frac { 8 } { 5 }$ ，根据 $| { \mathsf { O F } } | = \frac { 5 } { 4 } | { \mathsf { P Q } } |$ 求得 p的值，可得C的方程

（Ⅱ）设l的方程为

x=my+1

（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式

求得 $\left| \mathsf { M N } \right|$ ．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于 $\begin{array} { r } { \left| \mathsf { A E } \right| = \left| \mathsf { B E } \right| = } \end{array}$ $\frac { 1 } { 2 } | \mathsf { M N } |$ ，由此求得m的值，可得直线l的方程

【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为 $( \times _ { 0 } , ~ 4 )$ ，把点Q的坐标代入抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 }$ $\mathtt { \Lambda } = 2 \mathtt { p } \mathtt { x } \ \mathrm { \Lambda } ( \mathtt { p } > 0 )$

可得 $x _ { 0 } = \frac { 8 } { 5 }$ ，∵点P（0，4）， $\therefore | P Q | = \frac { 8 } { 2 }$

又 $\vert \mathsf { Q } \mathsf { F } \vert = \mathsf { x } _ { 0 } + \frac { \mathtt { p } } { 2 } = \frac { 8 } { \mathtt { p } } + \frac { \mathtt { p } } { 2 } , \vert \mathsf { Q } \mathsf { F } \vert = \frac { 5 } { 4 } \vert \mathsf { P } \boldsymbol { \Omega } \vert$

$\therefore \frac { 8 } { 5 } + \frac { p } { 2 } = \frac { 5 } { 4 } \times \frac { 8 } { p }$ ，求得 $\mathsf { p } { = } 2$ ，或 p=﹣2（舍去）

故C的方程为 $y ^ { 2 } = 4 x$

（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直， $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点F（1，0），

$$ \scriptstyle \mathtt { x } = \mathsf { m } \mathtt { y } + 1 ( \mathsf { m } \neq 0 ) $$

代入抛物线方程可得 $y ^ { 2 } - 4 \mathsf { m y } - 4 = 0$ ，显然判别式 $\triangle { = } 1 6 \mathsf { m } ^ { 2 } { + } 1 6 { > } 0$ $\forall 1 ^ { + } \forall 2 ^ { = } 4 m$ ，y₁$\bullet _ { \forall 2 } = - 4$

∴AB的中点坐标为D $( 2 \mathsf { m } ^ { 2 } { + } 1 , \mathsf { \Omega } 2 \mathsf { m } )$ ，弦长 $\mid \mathsf { A B } \mid = \sqrt { \mathtt { m } ^ { 2 } + 1 } \mid \mathsf { y } _ { 1 } - \mathsf { y } _ { 2 } \mid = \sqrt { \mathtt { m } ^ { 2 } + 1 }$ $\sqrt { ( { \bf y } _ { 1 } ^ { } + { \bf y } _ { 2 } ^ { } ) { \bf \Sigma } ^ { 2 } - 4 { \bf y } _ { 1 } ^ { } { \bf y } _ { 2 } ^ { } } = 4 { \bf \Sigma } ( { \bf m } ^ { 2 } + { \bf 1 } )$

又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 $x = - \frac { 1 } { \pi } y + 2 m ^ { 2 } + 3$

过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点， 把线l′的方程代入抛物线方程可得

$$ \gamma ^ { 2 + } \mathrm { \frac { 4 } { m } } \gamma - 4 ( 2 m ^ { 2 + } 3 ) = 0 , \therefore \gamma _ { 3 } + \gamma _ { 4 } = \mathrm { \frac { - 4 } { m } } , \forall _ { 3 } \bullet \gamma _ { 4 } = - 4 ( 2 m ^ { 2 + } 3 ) $$

故线段MN的中点E的坐标为 $( \frac { 2 } { \tt m ^ { 2 } } + 2 \tt m ^ { 2 } + 3 , \frac { \tt ~ - 2 } { \tt m } ) , \{ { \sf M N } | = \sqrt { 1 + \frac { 1 } { \tt m ^ { 2 } } } | \forall _ { 3 } - \gamma _ { 4 } | =$

$$ { \frac { 4 ( \pi ^ { 2 } + 1 ) \cdot { \sqrt { 2 \pi ^ { 2 } + 1 } } } { \pi ^ { 2 } } } , $$

∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于 $\left| \mathsf { A E } \right| = \left| \mathsf { B E } \right| = \frac { 1 } { 2 } \left| \mathsf { M N } \right|$

$$ \therefore \frac { 1 } { 4 } \cdot A B ^ { 2 } + D E ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } M N ^ { 2 } $$

∴4 $( { \mathfrak { m } } ^ { 2 } + 1 ) { \mathrm { ~ \Gamma ~ } } ^ { 2 } \qquad + ( 2 \pi + \frac { 2 } { \pi } ) ^ { 2 } + ( \frac { 2 } { { \mathrm { ~ \partial ~ } } ^ { 2 } } + 2 ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \times \frac { 1 6 \bullet ( { \mathfrak { m } } ^ { 2 } + 1 ) { \mathrm { ~ \Gamma ~ } } ^ { 2 } \bullet ( 2 { \mathrm { ~ \partial ~ } } ^ { 2 } + 1 ) } { \pi ^ { 4 } } , \qquad $ ，化简可得

$m ^ { 2 } \textrm { - } 1 { = } 0$

∴m=±1，∴直线l的方程为 $x - y - 1 = 0$ ，或 $x + y - 1 = 0$

【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题