已知 sin ( α - β ) = 1 3 , cos…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 $\sin ( \alpha + \beta )$ ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为 $\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = { \frac { 1 } { 3 } }$ ，而 $\cos \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 6 }$ ，因此 $\sin \alpha \cos \beta = { \frac { 1 } { 2 } }$ 则 $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = { \frac { 2 } { 3 } }$ 所以 $\cos ( 2 \alpha + 2 \beta ) = \cos 2 ( \alpha + \beta ) = 1 - 2 \sin ^ { 2 } ( \alpha + \beta ) = 1 - 2 \times ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 }$ 故选

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系

（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围