2010_quanguo_old_ii
12．（5分）已知椭圆T： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，过右焦点F且 斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 $\overline { { \mathtt { A F } } } = 3 \overline { { \mathtt { F B } } }$ ，则k=（ ） A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】设 $\mathbf { A } \left( \mathbf { \lambda } \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { \lambda } \mathbf { y } _ { 1 } \right)$ $\textsf { \textsf { B } } ( \mathsf { x } _ { 2 } , \mathsf { y } _ { 2 } )$ ，根据 $\overrightarrow { A F } = 3 \overrightarrow { F B }$ 求得 $\mathsf { \cdot y } _ { 1 } \mathfrak { F } \mathbb { I } \mathsf { y } _ { 2 }$ 关系根据离心率$\tt a = 2 t$ $c = \sqrt { 3 } t$ ，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出 $\mathsf { y } _ { 1 } { + } \mathsf { y } _ { 2 }$ 和 $\forall \ i \Psi \ i$ ，进而根据 $\mathsf { y } _ { 1 }$ 和 $\forall _ { 2 }$ 关系求得k
【解答】解： $\ A \ ( \mathsf { x } _ { 1 } , \ \mathsf { y } _ { 1 } ) , \ B \ ( \mathsf { x } _ { 2 } , \ \mathsf { y } _ { 2 } )$
$\because \overrightarrow { A F } = 3 \overrightarrow { F B } , \therefore y _ { 1 } = - \mathbf { \nabla } 3 y _ { 2 }$
$\because e = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，设 $\mathtt { a } = 2 \mathtt { t } , \mathtt { c } = { \sqrt { 3 } } \mathtt { t } , \mathtt { b } { \mathtt { = t } }$
$\therefore x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 t ^ { 2 } = 0 \textcircled { 1 }$
设直线AB方程为 $\scriptstyle \mathtt { x = s y + { \sqrt { 3 } } t }$ ，代入①中消去x，可得 $( \mathsf { s } ^ { 2 } + \mathsf { 4 } ) \mathsf { y } ^ { 2 } + 2 \sqrt { 3 } \mathsf { s } \mathsf { t y } ^ { - } \mathsf { t } ^ { 2 } = \hat { \mathsf { 0 } }$ $\therefore y _ { 1 } + y _ { 2 } = - \frac { 2 \sqrt { 3 } \sec } { \displaystyle \mathrm { s } ^ { 2 } + 4 } , ~ y _ { 1 } y _ { 2 } = - \frac { \mathrm { t } ^ { 2 } } { \mathrm { s } ^ { 2 } + 4 } , ~ - 2 y _ { 2 } = - \frac { 2 \sqrt { 3 } \sec } { \mathrm { s } ^ { 2 } + 4 } , ~ - 3 \mathrm { y } _ { 2 } ^ { 2 } = - \frac { \mathrm { t } ^ { 2 } } { \mathrm { s } ^ { 2 } + 4 } ,$ 解得 $\mathsf { s } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 }$ $k { = } \sqrt { 2 }$
故选：B
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用