（10分） A B C 的内角A、B、C的对边分别为a、b…——2011 高考数学第 17 题答案解析

由已知 $A - C = \frac{\pi}{2}$，可得 $A = C + \frac{\pi}{2}$。
因为 $A$ 为三角形内角，所以 $\sin A = \sin(C + \frac{\pi}{2}) = \cos C$。

根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知条件 $a + c = \sqrt{2}b$ 转化为角的关系：
$$ \sin A + \sin C = \sqrt{2} \sin B $$

将 $\sin A = \cos C$ 代入上式：
$$ \cos C + \sin C = \sqrt{2} \sin B $$

利用辅助角公式化简左边：
$$ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos C + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin C \right) = \sqrt{2} \sin\left(C + \frac{\pi}{4}\right) $$
因此有：
$$ \sqrt{2} \sin\left(C + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin B \implies \sin\left(C + \frac{\pi}{4}\right) = \sin B $$

在 $\triangle ABC$ 中，$B \in (0, \pi)$，且 $C \in (0, \frac{\pi}{2})$（因为 $A > \frac{\pi}{2}$），所以 $C + \frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$。
由 $\sin \alpha = \sin \beta$ 可知 $\alpha = \beta$ 或 $\alpha + \beta = \pi$。
即 $B = C + \frac{\pi}{4}$ 或 $B + C + \frac{\pi}{4} = \pi$。

若 $B + C + \frac{\pi}{4} = \pi$，则 $B + C = \frac{3\pi}{4}$。
此时 $A = \pi - (B+C) = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$。
但这与 $A = C + \frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{2}$ 矛盾，故舍去。

因此只能是 $B = C + \frac{\pi}{4}$。
结合三角形内角和定理 $A + B + C = \pi$，代入 $A$ 和 $B$ 的表达式：
$$ \left(C + \frac{\pi}{2}\right) + \left(C + \frac{\pi}{4}\right) + C = \pi $$
$$ 3C + \frac{3\pi}{4} = \pi $$
$$ 3C = \frac{\pi}{4} $$
$$ C = \frac{\pi}{12} $$