在（1） a c= 3，② c sin A=3，③ c=…——2020 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
在①$a c=\sqrt{3}$ ，②$c \sin A=3$ ，③$c=\sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $\triangle A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A=\sqrt{3} \sin B, C=\frac{\pi}{6}$ ， $\_\_\_\_$ ＿？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】

## 【分析】

解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 $a, b$ 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 $c$ 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解．

解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 $\tan A$ 的值，得到角 $A, B, C$ 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解．

## 【详解】解法一：

由 $\sin A=\sqrt{3} \sin B$ 可得：$\frac{a}{b}=\sqrt{3}$ ，
不妨设 $a=\sqrt{3} m, b=m(m>0)$ ，
则：$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=3 m^{2}+m^{2}-2 \times \sqrt{3} m \times m \times \frac{\sqrt{3}}{2}=m^{2}$ ，即 $c=m$ ．

## 选择条件①的解析：

据此可得：$a c=\sqrt{3} m \times m=\sqrt{3} m^{2}=\sqrt{3}, \quad \therefore m=1$ ，此时 $c=m=1$ ．

## 选择条件②的解析：

据此可得： $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{m^{2}+m^{2}-3 m^{2}}{2 m^{2}}=-\frac{1}{2}$ ，
则： $\sin A=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，此时：$c \sin A=m \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$ ，则：$c=m=2 \sqrt{3}$ ．

## 选择条件③的解析：

可得 $\frac{c}{b}=\frac{m}{m}=1, c=b$ ，
与条件 $c=\sqrt{3} b$ 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：$\because \sin A=\sqrt{3} \sin B, C=\frac{\pi}{6}, B=\pi-(A+C)$ ，
$\therefore \sin A=\sqrt{3} \sin (A+C)=\sqrt{3} \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$ ，
$\sin A=\sqrt{3} \sin (A+C)=\sqrt{3} \sin A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3} \cos A \cdot \frac{1}{2}$,
$\therefore \sin A=-\sqrt{3} \cos A, \therefore \tan A=-\sqrt{3}, \therefore A=\frac{2 \pi}{3}, \therefore B=C=\frac{\pi}{6}$ ，
若选①，$a c=\sqrt{3}, \because a=\sqrt{3} b=\sqrt{3} c, \therefore \sqrt{3} c^{2}=\sqrt{3}, \therefore c=1$ ；

若选②，$c \sin A=3$ ，则 $\frac{\sqrt{3} c}{2}=3, c=2 \sqrt{3}$ ；

若选③，与条件 $c=\sqrt{3} b$ 矛盾．
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系。题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理。应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用。解决三角形问题时，注意角的限制范围。