2020 新课标 I 卷 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{x \mid 1 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid 2<x<4\}$ ，则 $A \cup B=$

2．$\frac{2-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}=$

3.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为 $O$ ），地球上一点 $A$ 的纬度是指 $O A$ 与地球赤道所在平面所成角，点 $A$ 处的水平面是指过点 $A$ 且与 $O A$ 垂直的平面。在点 $A$ 处放置一个日晷，若暑面与赤道所在平面平行，点 $A$ 处的纬度为北纬 $40^{\circ}$ ，则晷针与点 $A$ 处的水平面所成角为 

5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 $96 \%$ 的学生喜欢足球或游泳， $60 \%$ 的学生喜欢足球， $82 \%$ 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

6．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$I(t)=\mathrm{e}^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ，$T$ 近似满足 $R_{0}$ $=1+r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_{0}=3.28, T=6$ ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为 $(\ln 2 \approx 0.69)$

7．已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范用是

8．若定义在 $R$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$ ，则满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是

9．已知曲线 $C: m x^{2}+n y^{2}=1$ ．

10．下图是函数 $y=\sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图像，则 $\sin (\omega x+\varphi)=$ 

11．已知 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=1$ ，则

12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1,2, \cdots, n$ ，且 $P(X=i)=p_{i}>0(i=1,2, \cdots, n), \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H(X)=-\sum_{i=1}^{n} p_{i} \log _{2} p_{i} . \quad ~ \quad()$ A 若 $n=1$ ，则 $H(X)=0$ B．若 $n=2$ ，则 $H(X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C．若 $p_{i}=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$ ，则 $H(X)$ 随着 $n$ 的增大而增大 D．若 $n=2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为 $1,2, \cdots, m$ ，且 $P(Y=j)=p_{j}+p_{2 m+1-j}(j=1,2, \cdots, m)$ ，则 $H(X) \leq H(Y)$

13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

14．将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\_\_\_\_$。

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示。 $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $A B$ 所在圆的圆心 ,$A$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $A G$ 的切点，$B$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $B C$ 的切点，四边形 $D E F G$ 为矩形，$B C \perp D G$ ，垂足为 $C, \mathrm{t}$ an $\angle O D C=\frac{3}{5}, B H / / D G, E F=12 \mathrm{~cm}, D E=2 \mathrm{~cm}, A$ 到直线 $D E$ 和 $E F$ 的距离均为 7 cm ，圆孔半径为 1 cm ，则图中阴影部分的面积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{2}$ ． 

16．已知直四棱柱 $A B C D-$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为 $2, \angle B A D=60^{\circ}$ ．以 $D_{1}$ 为球心，$\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为 $\_\_\_\_$。

17．在（1）$a c=\sqrt{3}$ ，②$c \sin A=3$ ，③$c=\sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 $\triangle A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A=\sqrt{3} \sin B, C=\frac{\pi}{6}$ ， $\_\_\_\_$ ＿？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2．5和 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度（单位：$\mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}$ ），得下表： | $\mathrm{SO}_{2}$ PM2．5 | ［0，50］ | （50，150］ | （150，475］ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | ［0，35］ | 32 | 18 | 4 | | （35，75］ | 6 | 8 | 12 | | （75，115］ | 3 | 7 | 10 | （1）估计事件＂该市一天空气中 PM2．5 浓度不超过 75 ，且 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度不超过 150 ＂的概率； （2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表： | $\mathrm{SO}_{2}$ PM2．5 | ［0，150］ | （150，475］ | | :--- | :--- | :--- | | ［0，75］ | | | | （75，115］ | | | （3）根据②中的列联表，判断是否有 $99 \%$ 的把握认为该市一天空气中PM 2.5 浓度与 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度有关？ 附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ， | $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

20．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．  （1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ； （2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ， （1）求 $C$ 的方程； （2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．

22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ． （1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围． ## 答案解析：